Uma pequena bola foi lançada verticalmente para baixo de uma altura de 40 m e atinge o solo com uma velocidade de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a velocidade inicial da bola.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Altura de lançamento: 40\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade ao atingir o solo (velocidade final): 40\\ \mathrm{m/s}.
  • A bola foi lançada verticalmente para baixo (portanto a velocidade inicial tem direção para baixo).
  • Pergunta: determinar a velocidade inicial da bola.

Passo 2

Escolhemos um sistema de sinais e as hipóteses que vamos usar (isso é importante para não nos atrapalharmos):
  • Vamos tomar o sentido para baixo como positivo (assim a aceleração da gravidade fica a=+g).
  • Desprezamos a resistência do ar (movimento com aceleração constante igual a g).
  • A fórmula que vamos usar é a equação que relaciona velocidades, aceleração e deslocamento sem envolver tempo:
v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta y.
Agora vou te explicar de forma bem direta de onde vem essa fórmula (pra você poder usar na prova sem erro): partimos das duas equações do movimento uniformemente acelerado:
v=v_{0}+a t
\Delta y = v_{0}t+\tfrac{1}{2}a t^{2}.
Multiplicando a primeira por t obtemos v t = v_{0}t + a t^{2}. Subtraindo essa igualdade da segunda escrita em forma \Delta y = v_{0}t+\tfrac{1}{2}a t^{2} e reorganizando, ou alternativamente isolando t da primeira e substituindo na segunda, chega-se à identidade
v^{2}-v_{0}^{2}=2a\Delta y,
que é justamente a fórmula usada (a vantagem é que não precisamos calcular o tempo).

Passo 3

Aplicamos a fórmula ao nosso problema, lembrando do sistema de sinais escolhido:
  • Deslocamento até o solo (em módulo) é \Delta y=40\\ \mathrm{m} no sentido positivo (para baixo).
  • Aceleração é a=g. Usamos g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor padrão).
  • Velocidade final é v=40\\ \mathrm{m/s}.
Substituindo em
v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta y
temos
40^{2}=v_{0}^{2}+2\cdot 9{,}8\cdot 40.

Passo 4

Façamos as contas passo a passo:
  • Primeiro 40^{2}=1600.
  • Depois 2\cdot 9{,}8\cdot 40 = 19{,}6\cdot 40 = 784.
  • Então
1600 = v_{0}^{2} + 784.
Isolando v_{0}^{2},
v_{0}^{2} = 1600 - 784 = 816.

Passo 5

Agora extraímos a raiz quadrada para obter v_{0}. Como a bola foi lançada para baixo e adotamos o sentido para baixo como positivo, o v_{0} terá sinal positivo neste sistema. Calculando:
v_{0} = \sqrt{816}.
Podemos simplificar a raiz:
816 = 16\cdot 51 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{816}=4\sqrt{51}.
Aproximando \sqrt{51}\approx 7{,}141428, obtemos
v_{0}\approx 4\times 7{,}141428 \approx 28{,}6\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v_{0}=4\sqrt{51}\\ \mathrm{m/s}\approx 28{,}6\\ \mathrm{m/s} (para baixo)

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