Uma pequena bomba centrifuga de saída radial desenvolve uma altura total de 5,20 metros a 1500 rpm para Q=19,74 l / s. Na entrada e saída os diâmetros são 2,50 e 10 cm, respectivamente.
Qual a eficiência da bomba?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bomba centrífuga com saída radial que desenvolve uma altura total ( H) de 5,20 metros operando a 1500 rotações por minuto (rpm) para uma vazão ( Q) de 19,74 litros por segundo. Os diâmetros na entrada e saída da bomba são 2,50 cm e 10 cm, respectivamente. Nosso objetivo aqui é calcular a eficiência dessa bomba.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de hidráulica e termodinâmica relacionados a bombas centrífugas, como cálculo da potência hidráulica e potência fornecida à bomba. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
  • Vazão ( Q):
Q = 19,74 , litros/segundo = 19,74 times 10^-3 , m^3/s = 0,01974 , m^3/s
  • Diâmetros de entrada ( D1) e saída ( D2):
D1 = 2,50 , cm = 0,025 , m
D2 = 10 , cm = 0,10 , m
  • Velocidade de rotação ( N):
N = 1500 , rpm

Passo 3

Vamos calcular a velocidade angular ( omega) da bomba. A velocidade angular está relacionada à rotação por minuto através da fórmula:
omega = 2pi N60
Substituindo:
omega = 2pi times 150060 = 3000pi60 = 50pi , rad/s

Passo 4

Agora, vamos calcular as áreas de entrada ( A1) e saída ( A2) da bomba usando a fórmula da área de um círculo:
A = pi D^24
Então:
A1 = pi (0,025)^24 = pi times 0,0006254 = 0,0004909 , m^2
A2 = pi (0,10)^24 = pi times 0,014 = 0,00785398 , m^2

Passo 5

Com as áreas, podemos determinar as velocidades de fluxo na entrada ( v1) e na saída ( v2) usando:
v = QA
Então:
v1 = 0,019740,0004909 approx 40,2 , m/s
v2 = 0,019740,007854 approx 2,51 , m/s

Passo 6

Vamos agora calcular a potência hidráulica ( Ph) da bomba, que é a energia necessária para elevar a água a uma certa altura. A fórmula é:
Ph = rho times g times Q times H
Onde:
  • rho é a densidade da água ( 1000 , kg/m^3)
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 , m/s^2)
  • H é a altura total desenvolvida pela bomba ( 5,20 , m)
Substituindo:
Ph = 1000 times 9,81 times 0,01974 times 5,20 approx 1000 times 9,81 times 0,01974 times 5,20
Ph approx 1000 times 9,81 times 0,01974 times 5,20 approx 1000 times 9,81 times 0,102248 approx 1000 times 1,002
Ph approx 1002 , W , (ou aproximadamente 1,002 kW)

Passo 7

Agora, vamos calcular a potência mecânica fornecida ao rotor da bomba ( Pm). A fórmula para a potência mecânica é:
Pm = tau times omega
Onde:
  • tau é o torque
  • omega é a velocidade angular que calculamos anteriormente ( 50pi , rad/s)
Para encontrar o torque ( tau), podemos rearranjar a fórmula:
tau = Phomega
Substituindo os valores:
tau = 100250pi approx 1002157,08 approx 6,38 , Nm

Passo 8

Com o torque, podemos calcular a potência mecânica:
Pm = tau times omega = 6,38 times 50pi approx 6,38 times 157,08 approx 1002 , W
Notamos que Pm é aproximadamente igual a Ph, o que indicaria uma eficiência de 100%. Entretanto, isso não faz sentido fisicamente, já que sempre há perdas nos sistemas reais.
Isso nos leva a considerar que a potência mecânica real fornecida à bomba pode ser maior que a potência hidráulica devido às perdas internas. Portanto, precisamos revisar nossos cálculos.
Na verdade, para calcular a eficiência ( eta) da bomba, usamos:
eta = PhPm times 100%

Passo 9

Vamos expressar a eficiência:
eta = PhPm times 100%
Sabendo que:
Ph = 1002 , W
E supondo que Pm é a potência mecânica total fornecida, que deve ser calculada a partir do torque real. No entanto, na questão inicial, essa informação não é fornecida diretamente.
Uma abordagem comum é considerar que a potência mecânica fornecida é relacionada à potência hidráulica pela eficiência:
Pm = Pheta
Mas como não temos a eficiência, precisamos de outra forma.
Como não temos informação adicional sobre perdas, a questão parece pedir para calcular a eficiência ideal. Nesse caso, a eficiência seria 100%, mas isso não é realista. Parece que precisamos reconsiderar os passos anteriores.
Na verdade, a potência mecânica real fornecida à bomba também considera a energia rotacional fornecida, que pode ser calculada a partir do torque e da velocidade angular. Sem informações adicionais, podemos concluir que a eficiência não pode ser determinada apenas com os dados fornecidos, a menos que haja uma relação específica entre a potência hidráulica e a potência mecânica que deve ser assumida.

Resposta

Não é possível determinar a eficiência da bomba com os dados fornecidos, pois falta informação sobre a potência mecânica fornecida ou as perdas internas do sistema.

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