(UE-CE) Quatro amigos fundaram uma empresa com capital inicial K. Um deles participou com a terça parte, outro com a sexta parte, o terceiro com 20 \% e o último com \mathrm{R} \ 1029000,00 . O valor de K situa-se entre: a) \(R \\) 3000000,00\(e\)R \$3150000,00
b) R \ 3100000,00 eR $3250000,00$
c) R \ 3200000,00 eR $3350000,00$
d) R \ 3300000,00 eR $3450000,00$

Passo 1

O enunciado dá as participações de quatro amigos num capital total K:
  • Primeiro amigo: \tfrac{1}{3} de K.
  • Segundo amigo: \tfrac{1}{6} de K.
  • Terceiro amigo: 20\% de K (ou seja, 0{,}20K).
  • Quarto amigo: \mathrm{R}\$\,1.029.000{,}00.
O que o exercício pede: determinar em qual dos intervalos oferecidos o valor de K se situa (alternativas a, b, c ou d).

Passo 2

Entender que "as participações somadas dão o capital K". Isso significa que a soma das parcelas dos quatro deve ser igual a K. Em símbolos:
\text{soma das participações} = K.çõ

Passo 3

Converter todas as participações para a mesma forma (frações ou decimais). Já temos:
\text{participações} = \tfrac{1}{3}K,\\ \tfrac{1}{6}K,\\\ 0{,}20K,\\ \text{e}\\ \mathrm{R}\$\,1.029.000{,}00.çõ
Somemos as parcelas proporcionais a K: calculemos \tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{6}+0{,}20.

Passo 4

Calcular \tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{6}. Usando denominador comum 6:
\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{2}{6}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}=0{,}5.
Agora somar 0{,}5 com 0{,}20:
0{,}5+0{,}20=0{,}70.
Portanto as participações proporcionais somam 0{,}70K (ou 70\% de K).

Passo 5

Escrever a equação que expressa a soma de todas as participações igual a K:
0{,}70K+\mathrm{R}\$\,1.029.000{,}00 = K.
Isolando K, subtrai-se 0{,}70K dos dois lados:
\mathrm{R}\$\,1.029.000{,}00 = K-0{,}70K = 0{,}30K.

Passo 6

Resolver para K. Dividindo ambos os lados por 0{,}30:
K = \dfrac{\mathrm{R}\$\,1.029.000{,}00}{0{,}30}.

Passo 7

Efetuar a divisão. Podemos multiplicar numerador e denominador por 100 para facilitar mentalmente, ou reconhecer que dividir por 0{,}30 é multiplicar por \tfrac{10}{3}:
K = \mathrm{R}\$\,1.029.000{,}00 \times \dfrac{10}{3}.
Calcule passo a passo: 1.029.000\times 10 = 10.290.000. Agora dividir por 3:
\dfrac{10.290.000}{3}=3.430.000.
Logo
K=\mathrm{R}\$\,3.430.000{,}00.

Passo 8

Verificação rápida (checar se as parcelas somam K):
  • \tfrac{1}{3}K = \tfrac{1}{3}\times 3.430.000 = 1.143.333{,}33\ldots
  • \tfrac{1}{6}K = \tfrac{1}{6}\times 3.430.000 = 571.666{,}66\ldots
  • 20\%K = 0{,}20\times 3.430.000 = 686.000
  • quarto amigo = \mathrm{R}\$\,1.029.000{,}00
Somando aproximado:
1.143.333{,}33+571.666{,}66+686.000+1.029.000 \approx 3.430.000,
confirma que está correto (as pequenas repetições decimais são consequência das frações exatas).

Passo 9

Comparar K=\mathrm{R}\$\,3.430.000{,}00 com os intervalos dados nas alternativas:
  • (a) entre \mathrm{R}\$\,3.000.000{,}00 e \mathrm{R}\$\,3.150.000{,}00 — não contém 3.430.000.
  • (b) entre \mathrm{R}\$\,3.100.000{,}00 e \mathrm{R}\$\,3.250.000{,}00 — não contém.
  • (c) entre \mathrm{R}\$\,3.200.000{,}00 e \mathrm{R}\$\,3.350.000{,}00 — não contém.
  • (d) entre \mathrm{R}\$\,3.300.000{,}00 e \mathrm{R}\$\,3.450.000{,}00 — contém 3.430.000.

Resposta

d) \mathrm{R}\$\,3.430.000{,}00

Exercícios relacionados