Uma pequena esfera é lançada do alto de um muro com altura acima do solo e com uma velocidade horizontal de módulo 5 m / s. Considere desprezível o atrito da esfera com o ar e trate a esfera como um ponto. Suponha a aceleração da gravidade g=10 m / s^2. Use o sistema de coordenadas da figura abaixo, com vetores unitários imath e jmath dados nas direções de x e de y, respectivamente.
Escreva x(t), y(t) (componentes da posição nas direções x e y, respectivamente) para a esfera, como funções do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática, que faz parte da física do movimento. A questão pede pra gente encontrar as funções $ x(t) $ e $ y(t) $, que representam a posição da esfera nas direções horizontal e vertical ao longo do tempo. Pra isso, vamos precisar entender como o movimento horizontal e vertical funcionam separadamente, especialmente considerando que a esfera tem uma velocidade inicial apenas na horizontal e que a única aceleração é a da gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o movimento na direção horizontal, o eixo $ x $. Como não tem atrito do ar e a velocidade inicial é só horizontal, a esfera não vai acelerar nem desacelerar nessa direção. Isso significa que a velocidade horizontal $ v_x $ é constante.
Matematicamente, isso é expresso por:
x
Onde:
$ x_0 $ é a posição inicial em $ x $ (que geralmente é 0)
$ v_{0x} $ é a velocidade inicial na direção $ x $ (5 m/s)
$ t $ é o tempo
Como $ x_0 = 0 $, a equação fica:
vx
Passo 3
Agora, vamos para o movimento na direção vertical, o eixo $ y $. Aqui, a coisa muda porque a esfera está sujeita à aceleração da gravidade, que é $ g = 10 , m/s^2 $ para baixo. A posição vertical é dada por:
y
Onde:
$ y_0 $ é a altura inicial (3,0 m)
$ v_{0y} $ é a velocidade inicial na direção $ y $ (como o lançamento é apenas horizontal, $ v_{0y} = 0 $)
$ g $ é a aceleração da gravidade
Substituindo os valores:
g = 10 , m/s^2
Simplificando:
y(t) = y0 + v0y cdot t - 12 g t^2
Resposta
As funções que descrevem a posição da esfera ao longo do tempo são: