Uma pequena mudança (perturbação) na condição inicial ou na própria equação, geralmente corresponde a uma mudança radical na solução para uma equação diferencial. Nos itens a seguir compare as soluções dos problemas de valor inicial dados.
(a) \frac{d y}{d x}=(y-1)^{2}, \quad y(0)=1;
(b) \frac{d y}{d x}=(y-1)^{2}, \quad y(0)=1,01;
(c) \frac{d y}{d x}=(y-1)^{2}+0,01, \quad y(0)=1;
(d) \frac{d y}{d x}=(y-1)^{2}-0,01, \quad y(0)=1.
Passo 1
O enunciado pede para comparar soluções de quatro problemas de valor inicial envolvendo a mesma equação diferencial básica e pequenas perturbações na condição inicial ou no termo independente. O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem separáveis e análise qualitativa (equilíbrios e tempos de explosão). Vamos, para cada caso, usar separação de variáveis, obter a solução explícita e depois comparar domínio de existência e comportamento assintótico.
Passo 2
Para (a) temos
\frac{dy}{dx}=(y-1)^2,\quad y(0)=1.
Note que y=1 anula o lado direito, logo é uma solução de equilíbrio. A separação de variáveis confirmaria que qualquer outra constante só serviria se (y-1)^2=0. Assim
\boxed{y(x)=1\\ \text{para todo }x.}
Passo 3
Em (b) a equação é a mesma, mas y(0)=1,01. Separe:
Impondo y(0)=1 leva a C=0 e, após manipular logaritmo e exponencial, chega-se a
y(x)=1-0{,}1\,\operatorname{tanh}(0{,}1x).
Esta solução é global (definida para todo x) e tende a 1,1 quando x\to-\infty e a 0,9 quando x\to+\infty.
Passo 6
Comparando os quatro casos:
(a) sem perturbação: solução constante y=1.
(b) pequena perturbação inicial positiva: solução explode em tempo finito grande x\to100.
(c) pequena perturbação na equação positiva: explode mais cedo x\to5\pi\approx15{,}7.
(d) perturbação negativa na equação: solução permanece limitada, conecta dois equilíbrios y=1,1 e y=0,9.
Resposta
(a) y(x)=1 (solução de equilíbrio constante).
(b) y(x)=1+\dfrac1{100-x}, explode em x=100.
(c) y(x)=1+0{,}1\,\tan(0{,}1x), explode em x=5\pi\approx15{,}7.
(d) y(x)=1-0{,}1\,\operatorname{tanh}(0{,}1x), solução global que vai de 1,1 (em x\to-\infty) a 0,9 (em x\to+\infty).