Uma pequena mudança (perturbação) na condição inicial ou na própria equação, geralmente corresponde a uma mudança radical na solução para uma equação diferencial. Nos itens a seguir compare as soluções dos problemas de valor inicial dados.
(a) \frac{d y}{d x}=(y-1)^{2}, \quad y(0)=1;
(b) \frac{d y}{d x}=(y-1)^{2}, \quad y(0)=1,01;
(c) \frac{d y}{d x}=(y-1)^{2}+0,01, \quad y(0)=1;
(d) \frac{d y}{d x}=(y-1)^{2}-0,01, \quad y(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para comparar soluções de quatro problemas de valor inicial envolvendo a mesma equação diferencial básica e pequenas perturbações na condição inicial ou no termo independente. O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem separáveis e análise qualitativa (equilíbrios e tempos de explosão). Vamos, para cada caso, usar separação de variáveis, obter a solução explícita e depois comparar domínio de existência e comportamento assintótico.

Passo 2

Para (a) temos
\frac{dy}{dx}=(y-1)^2,\quad y(0)=1.
Note que y=1 anula o lado direito, logo é uma solução de equilíbrio. A separação de variáveis confirmaria que qualquer outra constante só serviria se (y-1)^2=0. Assim
\boxed{y(x)=1\\ \text{para todo }x.}

Passo 3

Em (b) a equação é a mesma, mas y(0)=1,01. Separe:
\int\frac{dy}{(y-1)^2}=\int dx \;\Longrightarrow\; -\frac1{y-1}=x+C.
Como y(0)=1,01 implica -1/(1,01-1)=C=-100, temos
-\frac1{y-1}=x-100 \;\Longrightarrow\; y(x)=1-\frac1{x-100} =1+\frac1{100-x}.
Essa solução explode (vai a +\infty) quando x\to100^-. Para x<100 ela cresce monotonamente de 1,01 até +\infty.

Passo 4

Em (c) a equação muda para
\frac{dy}{dx}=(y-1)^2+0,01.
Separe e use a integral de arctangente com a=0,1:
\int\frac{dy}{(y-1)^2+0,01} =\int dx \;\Longrightarrow\; \frac1{0,1}\arctan\!\bigl(\tfrac{y-1}{0,1}\bigr)=x+C.
Como y(0)=1 C=0, obtemos
\arctan\!\bigl(\tfrac{y-1}{0,1}\bigr)=0{,}1\,x \;\Longrightarrow\; \frac{y-1}{0,1}=\tan(0{,}1x) \;\Longrightarrow\; y(x)=1+0{,}1\,\tan(0{,}1x).
Essa solução explode quando 0{,}1x\to\frac\pi2, i.e.\ x\to\frac{\pi}{2}/0{,}1=5\pi\approx15{,}7.

Passo 5

Em (d) temos
\frac{dy}{dx}=(y-1)^2-0,01.
Separe com a=0,1:
\int\frac{dy}{(y-1)^2-0,01} =\int dx \;\Longrightarrow\; \frac1{2a}\ln\!\Bigl|\frac{y-1 - a}{y-1 + a}\Bigr|=x+C.
Impondo y(0)=1 leva a C=0 e, após manipular logaritmo e exponencial, chega-se a
y(x)=1-0{,}1\,\operatorname{tanh}(0{,}1x).
Esta solução é global (definida para todo x) e tende a 1,1 quando x\to-\infty e a 0,9 quando x\to+\infty.

Passo 6

Comparando os quatro casos:
  • (a) sem perturbação: solução constante y=1.
  • (b) pequena perturbação inicial positiva: solução explode em tempo finito grande x\to100.
  • (c) pequena perturbação na equação positiva: explode mais cedo x\to5\pi\approx15{,}7.
  • (d) perturbação negativa na equação: solução permanece limitada, conecta dois equilíbrios y=1,1 e y=0,9.

Resposta

(a) y(x)=1 (solução de equilíbrio constante).
(b) y(x)=1+\dfrac1{100-x}, explode em x=100.
(c) y(x)=1+0{,}1\,\tan(0{,}1x), explode em x=5\pi\approx15{,}7.
(d) y(x)=1-0{,}1\,\operatorname{tanh}(0{,}1x), solução global que vai de 1,1 (em x\to-\infty) a 0,9 (em x\to+\infty).

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