Um pequeno carro de massa 900 kg (descontando os pesos das rodas e dos eixos) se apoia sobre quatro molas que juntas possuem constante elástica de 8870 N / m. Ao passar numa lombada o carro passa a oscilar e sua amplitude inicial é de 10 cm .
a) Determine sua frequência natural de oscilação f0 e sua energia total inicial E0.
b) Sabe-se que seus amortecedores estão pouco eficientes e a energia mecânica de oscilação diminui 80 % a cada ciclo. Determine a constante de amortecimento b e o fator de qualidade Q do conjunto de amortecedores. Qual é o percentual de queda na amplitude por ciclo?
c) Em caso de amortecedores bons, não deve haver oscilação para um segundo ciclo. Com isso, qual deveria ser o valor da constante de amortecimento b ? E para o caso crítico, onde a rigidez dos amortecedores é muito alta (sistema não oscila), qual será o valor de b ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um carro de 900 kg apoiado em molas com constante elástica total de 8870, N/m. Quando o carro passa por uma lombada, ele começa a oscilar com uma amplitude inicial de 10 cm. Vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples, energia em sistemas oscilatórios e amortecimento. Vamos por partes!

Passo 2

Parte a): Frequência natural de oscilação f0 e energia total inicial E0.
Primeiro, vamos encontrar a frequência natural de oscilação. Para um sistema massa-mola, a frequência angular natural omega0 é dada por:
omega0 = raizkm
onde:
  • k é a constante elástica total das molas ( 8870, N/m),
  • m é a massa do carro ( 900, kg).
Depois, a frequência f0 em hertz é:
f0 = omega02pi

Passo 3

Calculando omega0:
omega0 = raiz8870900 approx raiz9.8556 approx 3.14, rad/s
Agora, encontramos f0:
f0 = 3.142pi approx 3.146.28 approx 0.5, Hz
Então, a frequência natural de oscilação é aproximadamente 0.5, Hz.

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia total inicial E0. Em um movimento harmônico simples, a energia total é dada por:
E0 = 12 k A^2
onde:
  • A é a amplitude da oscilação ( 10, cm = 0.10, m).

Passo 5

Substituindo os valores:
E0 = 12 times 8870 times (0.10)^2 = 12 times 8870 times 0.01 = 44.35, J
Portanto, a energia total inicial é de aproximadamente 44.35, J.

Resposta

a) A frequência natural de oscilação f0 é aproximadamente 0,5, Hz e a energia total inicial E0 é de 44,35, J.

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