Sabe-se que a variável tempo de serviço dos funcionários de determinada localidade varia com valores segundo uma distribuição normal de média e desvio padrão desconhecidos. Numa amostra de 17 tempos de serviço dessa população obteve-se o seguinte resultado:
9.7
10.2
9.4
8.8
8.3
6.4
9.6
8.8
6.8
8.9
6.9
9.1
10.1
10.0
7.7
7.6
9.2
Responda as questões a seguir:
OBS 1: Probabilidades devem ser expressas por números decimais utilizando vírgula “,” como caractere separador. Exemplo: 0,125.
OBS 2: O número de casas decimais para respostas e tolerância são informados entre parênteses no início de cada item.
a. (1,0.02) Considerando o intervalo bilateral de confiança de 99.5 \% para tempo médio de serviço dos funcionários da localidade, qual é o limite inferior desse intervalo? \square
b. (1,0.02) Considerando o intervalo bilateral de confiança de 99.5 \% para tempo médio de serviço dos funcionários da localidade, qual é o limite superior desse intervalo? \square
c. ( 1,0.02 ) Com as informações obtidas nesta amostra, calcule qual seria a margem de erro de um intervalo de confiança de 96 \% para tempo médio de serviço dos funcionários da localidade. \square
d. ( 1,0.02 ) Suponha que se esteja insatisfeito com a margem de erro obtida no item anterior. Para um levantamento futuro sobre este mesmo problema, desejaria-se que ela fosse um quarto da margem de erro obtida. Usando o mesmo nível de confiança adotado no item anterior, o tamanho amostral para o levantamento futuro deveria ser o tamanho amostral atual multiplicado por quanto? \square

Passo 1

O enunciado descreve uma amostra de n=17 tempos de serviço de uma população normalmente distribuída com média \mu e desvio padrão desconhecido. Vamos estimar \mu usando intervalos de confiança baseados na distribuição t de Student com n-1=16 graus de liberdade. Precisaremos de (1) média amostral \bar x e desvio-padrão amostral s, (2) valores críticos t_{1-\alpha/2,\,16} para os níveis de confiança dados e (3) fórmula do erro-padrão \displaystyle s/\sqrt{n}.

Passo 2

Calculemos a média e o desvio-padrão da amostra.
Somando os 17 valores obtém-se
\sum_{i=1}^{17} x_i = 147,5
\bar x = \frac{147,5}{17} \approx 8,68
O desvio-padrão amostral é
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{17}(x_i - \bar x)^2}\approx 1,20
e o erro-padrão da média vale
\frac{s}{\sqrt{n}} \approx \frac{1,20}{\sqrt{17}}\approx 0,29.

Passo 3

Para o intervalo de confiança bilateral de 99{,}5\% temos \alpha=0{,}005 e \alpha/2=0{,}0025. O valor crítico para 16 graus de liberdade é
t_{0{,}9975,\,16}\approx 3,69.
Logo a margem de erro é
E_{99{,}5\%} = t_{0{,}9975,\,16}\,\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 3,69\times 0,29\approx 1,08.
Os limites do intervalo são
\bar x - E_{99{,}5\%}\approx 8,68 - 1,08 = 7,60,
\bar x + E_{99{,}5\%}\approx 8,68 + 1,08 = 9,76\approx 9,8.

Passo 4

Para o intervalo de confiança bilateral de 96\% temos \alpha=0{,}04 e \alpha/2=0{,}02. O valor crítico é
t_{0{,}98,\,16}\approx 2,23.
A margem de erro passa a ser
E_{96\%} = t_{0{,}98,\,16}\,\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,23\times 0,29\approx 0,65\approx 0,7.

Passo 5

Quer-se reduzir essa margem de erro a um quarto do valor obtido em 96\%. Como
E\propto \frac{1}{\sqrt{n}},
seja E_{\text{novo}}=E_{96\%}/4. Então
\frac{1}{\sqrt{n_{\text{novo}}}} = \frac{1}{4}\,\frac{1}{\sqrt{n_{\text{atual}}}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{n_{\text{novo}}} = 4\,\sqrt{n_{\text{atual}}} \quad\Longrightarrow\quad n_{\text{novo}} = 16\,n_{\text{atual}}.

Resposta

a. 7,6
b. 9,8
c. 0,7
d. 16,0

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