Suponha que existam dois métodos, A e B, para se determinar a concentração de arsênio no solo. Com o objetivo de não identificar qual dos métodos é o mais preciso, um pesquisador realizou um experimento na qual o Método A foi testado 20 vezes e o Método B foi testado 14 vezes. Como resultado obteve um desvio padrão de 1,5 ppm para o Método A e 2,3 ppm para o Método B. Supondo que a concentração de arsênio no solo é uma variável aleatória que pode ser aproximada por uma distribuição Normal, determine a amplitude do intervalo de confiança, ao nível de 99 \%, para a razão entre as variâncias populacionais.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de confiança, com nível de 99 %, para a razão das variâncias populacionais \sigma_{A}^{2}/\sigma_{B}^{2}.
Conteúdo: intervalo de confiança para razão de variâncias em distribuição Normal, usando a distribuição F.

Passo 2

Calcular as variâncias amostrais e seus graus de liberdade.
Amostra do método A: n_{1}=20, desvio padrão s_{1}=1{,}5, logo
s_{1}^{2} = (1{,}5)^{2} = 2{,}25,
grau de liberdade \nu_{1}=n_{1}-1=19.
Amostra do método B: n_{2}=14, desvio padrão s_{2}=2{,}3, logo
s_{2}^{2} = (2{,}3)^{2} = 5{,}29,
grau de liberdade \nu_{2}=n_{2}-1=13.

Passo 3

A estimativa pontual da razão é
R = \frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} = \frac{2{,}25}{5{,}29} \approx 0{,}425.
O intervalo de confiança de 99 % para \sigma_{1}^{2}/\sigma_{2}^{2} é dado por
\left[ \frac{R}{F_{1-\alpha/2;\,\nu_{1},\nu_{2}}} \;,\; R \cdot F_{1-\alpha/2;\,\nu_{2},\nu_{1}} \right],
onde \alpha=0{,}01 e \alpha/2=0{,}005.

Passo 4

Obter os valores críticos da distribuição F:
F_{0{,}995;\,19,13}\approx 5{,}21 \quad\text{e}\quad F_{0{,}995;\,13,19}\approx 4{,}53.
Logo
\text{limite inferior} = \frac{0{,}425}{5{,}21} \approx 0{,}0816, \qquad \text{limite superior} = 0{,}425 \times 4{,}53 \approx 1{,}928.

Passo 5

O intervalo de confiança de 99 % para \sigma_{A}^{2}/\sigma_{B}^{2} é aproximadamente
(0{,}0816,\;1{,}928).
A amplitude desse intervalo é
1{,}928 - 0{,}0816 \approx 1{,}846.

Resposta

A amplitude do intervalo de confiança é aproximadamente 1{,}85.

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