Pergunta 12 0,3 pts
Uma equação diferencial ordinária (edo) da forma
é conhecida como Equação de Bernoulli (Jakob Bernoulli 1654-1705). Trata-se de uma importante equação diferencial que ocorre no estudo de dinâmica populacional e mecânica de fluidos incompressíveis.
Se
ou
a Equação de Bernoulli é linear (verifique). Caso contrário, a equação é não linear. Caso seja não linear, a equação pode ser linearizada por meio da transformação
, isto é, a edo não linear na função incógnita
é transformada em uma edo linear na função incógnita
.
Utilize o raciocínio anterior para determinar uma solução da edo
.
Nenhuma das outras alternativas.
Uma equação diferencial ordinária (edo) da forma
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a equação de Bernoulli
x^2 y′(x) + 2 x y(x) = y^3(x)
— um EDO não linear de ordem 1 com n = 3 — usando a transformação v(x) = y^{1−n}(x) = y^{-2}(x).
x^2 y′(x) + 2 x y(x) = y^3(x)
— um EDO não linear de ordem 1 com n = 3 — usando a transformação v(x) = y^{1−n}(x) = y^{-2}(x).
Passo 2
Primeiro colocamos a EDO em forma padrão dividindo tudo por x^2:
y′ + \frac{2}{x} y = \frac{y3}{x2}.
Isso mostra claramente o termo p(x)=2/x e q(x)=1/x^2, e o expoente n=3.
y′ + \frac{2}{x} y = \frac{y3}{x2}.
Isso mostra claramente o termo p(x)=2/x e q(x)=1/x^2, e o expoente n=3.
Passo 3
Aplicamos a substituição v = y^{1−3} = y^{-2}. Então, derivando ambos os lados:
Isolamos y′:
Passo 4
Substituímos y′ e y^3 na forma padrão:
Dividindo tudo por y^3 e reorganizando em v′ temos
Multiplicando por -2/x^2:
É uma EDO linear em v.
Passo 5
Para resolver em v usamos fator integrante μ(x)=e{∫(-4/x)dx}=x{-4}. Multiplicando a EDO:
Integrando:
Logo
Passo 6
Voltando à variável y, lembramos que v = 1/y^2, então y^2 = 1/v e
Resposta
y(x)=\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{5x}+Cx^4}}