Pergunta 12 0,3 pts
Uma equação diferencial ordinária (edo) da forma y^prime(x)+p(x) y(x)=q(x) y^n(x) é conhecida como Equação de Bernoulli (Jakob Bernoulli 1654-1705). Trata-se de uma importante equação diferencial que ocorre no estudo de dinâmica populacional e mecânica de fluidos incompressíveis.
Se n=0 ou n=1 a Equação de Bernoulli é linear (verifique). Caso contrário, a equação é não linear. Caso seja não linear, a equação pode ser linearizada por meio da transformação v(x)=y^1-n(x), isto é, a edo não linear na função incógnita y=y(x) é transformada em uma edo linear na função incógnita v=v(x).
Utilize o raciocínio anterior para determinar uma solução da edo x^2 y^prime(x)+2 x y(x)=y^3(x).
raiz25 x+cx^4
Nenhuma das outras alternativas.
1raiz25 x+cx^4
1raiz25 x--cx^4
circ
raiz25 x-cx^4

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação de Bernoulli
x^2 y′(x) + 2 x y(x) = y^3(x)
— um EDO não linear de ordem 1 com n = 3 — usando a transformação v(x) = y^{1−n}(x) = y^{-2}(x).

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO em forma padrão dividindo tudo por x^2:
y′ + \frac{2}{x} y = \frac{y3}{x2}.
Isso mostra claramente o termo p(x)=2/x e q(x)=1/x^2, e o expoente n=3.

Passo 3

Aplicamos a substituição v = y^{1−3} = y^{-2}. Então, derivando ambos os lados:
dvdx = -2 y^-3 dydx
Isolamos y′:
y = -12 y^3 dvdx

Passo 4

Substituímos y′ e y^3 na forma padrão:
-12 x^2 y^3 dvdx + 2 x y = y^3
Dividindo tudo por y^3 e reorganizando em v′ temos
-x^22 dvdx + 2 x v = 1
Multiplicando por -2/x^2:
dvdx - 4x v = -2x^2
É uma EDO linear em v.

Passo 5

Para resolver em v usamos fator integrante μ(x)=e{∫(-4/x)dx}=x{-4}. Multiplicando a EDO:
ddxl(x^-4vr) = -2 x^-6
Integrando:
x^-4v = integral -2 x^-6dx = 25x^-5 + C
Logo
v(x) = 25x + C x^4

Passo 6

Voltando à variável y, lembramos que v = 1/y^2, então y^2 = 1/v e
y(x) = 1raizv(x) = 1raiz25x + C x^4

Resposta

y(x)=\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{5x}+Cx^4}}

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