Resolve os seguintes sistemas de inequações:
3 x-2 x^2 & >= 0 x^2-x-2 & <= 0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem simultaneamente as duas inequações quadráticas. O conteúdo envolve análise de sinal de polinômios e fatoração de quadráticas; vamos precisar achar as raízes de cada polinômio e determinar em quais intervalos cada inequação é válida, para depois intersectar esses intervalos.

Passo 2

Começando pela primeira inequação 3x - 2x^2 >= 0: reorganizamos para um formato padrão e fatoramos.
Reescrevendo:
3x - 2x^2 >= 0 Long<=ftrightarrow -2x^2 + 3x >= 0
Multiplicando ambos os lados por -1 (invertendo o sinal da desigualdade):
2x^2 - 3x <= 0
Fatorando o lado esquerdo:
2x^2 - 3x = x(2x - 3)
Para x(2x-3) <= 0, a parábola abre para cima, então a solução é o intervalo entre as raízes:
x = 0e x=tfrac32,
portanto
x in [0,,tfrac32]

Passo 3

Agora a segunda inequação x^2 - x - 2 <= 0: fatoramos diretamente. As raízes vêm da fórmula ou inspeção:
x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima, e (x-2)(x+1) <= 0 vale entre as raízes:
x = -1 e x = 2,
logo
x in [-1,,2]

Passo 4

Agora intersectamos os dois conjuntos obtidos:
[0,tfrac32];cap;[-1,,2] = [0,tfrac32]
Esse é o conjunto de x que satisfaz ambas as inequações.

Resposta

x in [0,tfrac32]

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