Resolva as seguintes inequações produto e quociente:
(-x^2+4 x-3)(2 x-1) <= 0

Passo 1

Este exercício é uma inequação do tipo produto de expressões; o conteúdo aqui é análise de sinais em inequações. Vamos fatorar cada parte, encontrar as raízes (zeros) e depois estudar em quais intervalos o produto fica menor ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro fatoramos o polinômio quadrático. Note que
-x^2+4x-3 = -(x^2-4x+3) = -(x-1)(x-3)
Então a inequação original
(-x^2+4x-3)(2x-1) <= 0
pode ser reescrita como
-(x-1)(x-3)(2x-1) <= 0

Passo 3

Agora achamos as raízes de cada fator, isto é, onde cada um se anula:
x-1=0Rightarrow x=1, x-3=0Rightarrow x=3, 2x-1=0Rightarrow x=tfrac12
Esses valores particionam a reta em quatro intervalos: (-infty,tfrac12), (tfrac12,1), (1,3) e (3,infty).

Passo 4

Aplicamos o método de análise de sinais: para cada intervalo, avaliamos o sinal de cada fator sem fazer contas exatas, só sabendo se o número teste é maior ou menor que cada raiz. Por exemplo, no intervalo (tfrac12,1) escolhemos x=0,75:
  • -(x-1)(x-3): entre 1 e 3 o produto (x-1)(x-3) é positivo, mas vem com sinal menos, logo é negativo;
  • 2x-1 é positivo sempre que x>tfrac12.
    Assim o produto total é negativo ali. Repetimos a mesma ideia nos outros intervalos (ou resumimos num quadro mental).

Passo 5

Concluímos que a expressão é menor ou igual a zero exatamente quando o produto é negativo ou zero, ou seja, nos intervalos onde deu sinal negativo mais os pontos de zero. Isso ocorre em
[tfrac12,1]cup[3,infty)

Resposta

x \in [\tfrac12,1]\cup[3,\infty)

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