Resolva as seguintes inequações produto e quociente:
Passo 1
Este exercício é uma inequação do tipo produto de expressões; o conteúdo aqui é análise de sinais em inequações. Vamos fatorar cada parte, encontrar as raízes (zeros) e depois estudar em quais intervalos o produto fica menor ou igual a zero.
Passo 2
Primeiro fatoramos o polinômio quadrático. Note que
Então a inequação original
pode ser reescrita como
Passo 3
Agora achamos as raízes de cada fator, isto é, onde cada um se anula:
Esses valores particionam a reta em quatro intervalos:
,
,
e
.
Passo 4
Aplicamos o método de análise de sinais: para cada intervalo, avaliamos o sinal de cada fator sem fazer contas exatas, só sabendo se o número teste é maior ou menor que cada raiz. Por exemplo, no intervalo
escolhemos
:
-
: entre 1 e 3 o produto é positivo, mas vem com sinal menos, logo é negativo; -
é positivo sempre que .
Assim o produto total é negativo ali. Repetimos a mesma ideia nos outros intervalos (ou resumimos num quadro mental).
Passo 5
Concluímos que a expressão é menor ou igual a zero exatamente quando o produto é negativo ou zero, ou seja, nos intervalos onde deu sinal negativo mais os pontos de zero. Isso ocorre em
Resposta
x \in [\tfrac12,1]\cup[3,\infty)