Pergunta 150,4 pts
Um tanque contém 200 L de água limpa na qual foram dissolvidos 30 g de sal. Uma salmoura de concentração 1 g / L é bombeada para o tanque a uma taxa de 4 L / min. A solução, perfeitamente misturada, é retirada do tanque à mesma taxa. Em que instante a concentração da solução do tanque atingirá de 0,5 g / L ?
Nenhuma das outras alternativas.
Em aproximadamente 41,0 minutos.
Em aproximadamente 13,5 minutos.
Em aproximadamente 34,5 minutos.
Em aproximadamente 26,5 minutos.

Passo 1

O enunciado pede para achar o instante em que a concentração de sal num tanque de volume constante (200 L) passa a ser 0,5 g/L, sabendo que começa com 30 g de sal e recebe uma salmoura de 1 g/L a 4 L/min, com saída perfeitamente misturada à mesma vazão. O conteúdo aqui é EDO linear de primeira ordem (problema de mistura).

Passo 2

Vamos chamar de S(t) a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante t (em minutos). A taxa de variação de sal é entrada menos saída:

Passo 3

dSdt=underbrace4times 1entrada de sal (g/min) - underbrace4cdot S200saída de sal (g/min) =4 - S50í

Passo 4

Essa é uma EDO do tipo dSdt+150S=4. Para resolver, podemos usar fator integrante ou reconhecer a solução geral como soma da particular Sp=200 e da homogênea Sh=C e^-t/50. Logo:

Passo 5

S(t)=200 + C e^-t/50

Passo 6

Aplicando a condição inicial S(0)=30:

Passo 7

30=200 + Cimplies C=-170

Passo 8

Assim

Passo 9

S(t)=200 -170 e^-t/50

Passo 10

Queremos o instante em que a concentração c(t)=S(t)/200=0,5 g/L, isto é S(t)=100 g. Então:

Passo 11

200 -170 e^-t/50=100 implies 170 e^-t/50=100 implies e^-t/50=1017

Passo 12

Tomando logaritmo:

Passo 13

-t50=ln1017 implies t=50ln1710approx26,5

Resposta

Em aproximadamente 26,5 minutos.

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