Pergunta 150,4 pts
Um tanque contém 200 L de água limpa na qual foram dissolvidos 30 g de sal. Uma salmoura de concentração é bombeada para o tanque a uma taxa de . A solução, perfeitamente misturada, é retirada do tanque à mesma taxa. Em que instante a concentração da solução do tanque atingirá de ?
Nenhuma das outras alternativas.
Em aproximadamente 41,0 minutos.
Em aproximadamente 13,5 minutos.
Em aproximadamente 34,5 minutos.
Em aproximadamente 26,5 minutos.
Passo 1
O enunciado pede para achar o instante em que a concentração de sal num tanque de volume constante (200 L) passa a ser 0,5 g/L, sabendo que começa com 30 g de sal e recebe uma salmoura de 1 g/L a 4 L/min, com saída perfeitamente misturada à mesma vazão. O conteúdo aqui é EDO linear de primeira ordem (problema de mistura).
Passo 2
Vamos chamar de a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante (em minutos). A taxa de variação de sal é entrada menos saída:
Passo 3
Passo 4
Essa é uma EDO do tipo dSdt+150S=4. Para resolver, podemos usar fator integrante ou reconhecer a solução geral como soma da particular Sp=200 e da homogênea Sh=C e^-t/50. Logo:
Passo 5
S(t)=200 + C e^-t/50
Passo 6
Aplicando a condição inicial S(0)=30:
Passo 7
30=200 + Cimplies C=-170
Passo 8
Assim
Passo 9
S(t)=200 -170 e^-t/50
Passo 10
Queremos o instante em que a concentração c(t)=S(t)/200=0,5 g/L, isto é S(t)=100 g. Então: