Resolva as seguintes inequações produto e quociente:
x^2+7 x-126-2 x<0

Passo 1

Estamos resolvendo a inequação racional
x^2+7x-126-2x<0
Isso é um caso de inequação do tipo quociente, em que identificamos onde o numerador e o denominador mudam de sinal e, em seguida, fazemos um estudo de sinais para encontrar onde o quociente é negativo.

Passo 2

Encontramos as raízes do numerador e do denominador:
O numerador zera quando
x^2+7x-12=0 Longrightarrow x=-7pmraiz7^2-4cdot1cdot(-12)2 =-7pmraiz972
O denominador zera quando
6-2x=0 Longrightarrow x=3
Logo os pontos críticos são
alpha=-7-raiz972, beta=-7+raiz972, x=3,
que particionam a reta em quatro intervalos.

Passo 3

Analisamos o sinal de numerador e denominador em cada intervalo, escolhendo um valor de teste:
  1. Para x<alpha: numerador >0 (fora das raízes) e denominador >0 (pois x<3). Quociente >0.
  2. Para alpha<x<beta: numerador <0 (entre as raízes) e denominador >0. Quociente <0.
  3. Para beta<x<3: numerador >0 e denominador >0. Quociente >0.
  4. Para x>3: numerador >0 e denominador <0. Quociente <0.
Queremos onde o quociente é negativo, ou seja, casos 2 e 4.

Passo 4

Como a inequação é estrita (<0), não incluímos pontos em que o numerador zera (pois aí o quociente é zero) nem onde o denominador zera (não faz sentido). Assim, a solução é a união dos intervalos onde o quociente é negativo:
l(alpha,betar);cup;(3,infty) ou seja l(-7-raiz972,-7+raiz972r)cup(3,infty)

Resposta

l(-7-raiz972,-7+raiz972r);cup;(3,infty)

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