Pergunta 16 0,4 pts
Suponha que um projétil de 16 Kg seja atirado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de 300 m / s. Considere que a resistência do ar é diretamente proporcional à velocidade instantânea do projétil (coeficiente de atrito k=0,25 ). Qual a altura máxima atingida pelo projétil? (Considere g=10 m / s^2 )?
Aproximadamente 4205 m.
Nenhuma das outras alternativas.
Aproximadamente 3455 m .
Aproximadamente 2745 m.
Aproximadamente 3985 m.

Passo 1

Vamos calcular a altura máxima de um projétil de massa m=16,kg lançado para cima com velocidade inicial v0=300,m/s, sob ação da gravidade g=10,m/s^2 e arrasto linear Fd=-kv com k=0,25,kg/s.

Passo 2

A equação de Newton para o movimento vertical considera peso e arrasto:
mdvdt=-mg-kv
Reescrevendo:
dvdt+kmv=-g

Passo 3

Para resolver essa EDO de primeira ordem, usamos fator integrante. A solução geral é
v(t)=l(v0+mgkr)e^-kmt-mgk
Para achar o tempo t^* em que v(t^*)=0, igualamos
0=l(v0+tfracmgkr)e^-kmt^*-tfracmgk
que leva a
e^-kmt^*=mg/kv0+mg/k Longrightarrow t^*=mklnl(1+v0kmgr)

Passo 4

A altura máxima h é o deslocamento até t^*:
h=integral0^t^*v(t),dt=m v0k-mgk,t^*
Substituindo t^*,
h=mkl[v0-mgklnl(1+v0kmgr)r]

Passo 5

Agora, com m=16, k=0,25, g=10, v0=300:
mk=64,mgk=640,v0kmg=300640approx0,46875,ln(1,46875)approx0,384
Então
h=64l(300-640times0,384r)approx64times54,24approx3471,36,m

Passo 6

Arredondando para o valor mais próximo das alternativas, obtemos aproximadamente 3455,m.

Resposta

A altura máxima é aproximadamente 3455,m.

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