Pergunta 20,3 pts
Considere a equação diferencial ordinária x^2 y^prime prime(x)+5 x y^prime(x)+4 y(x)=0 para x>0. dentre as funções:
f(x)=1 / x^2 g(x)=1 / x^3 h(x)=ln (x) / x^2
Podemos afirmar que
Nenhuma das outras alternativas.
somente h é solução da edo.
somente f é solução da edo.
somente f e h são soluções da edo.
somente g é solução da edo.

Passo 1

O enunciado pede para a gente ver quais das funções
f(x)=1x^2, g(x)=1x^3, h(x)=ln(x)x^2
são soluções da equação diferencial de Euler–Cauchy
x^2y''+5x,y'+4y=0, x>0
Matéria: equação de Euler–Cauchy. Vamos precisar saber que, para esse tipo de EDO, a gente tenta uma solução do tipo
y=x^m,
calcula y' e y'', monta a equação característica e resolve para m. Aí sai a solução geral, e daí vemos quais das dadas batem.

Passo 2

Teoria da equação de Euler–Cauchy:
  1. Supõe-se y=x^m.
  2. Então
y'=m,x^m-1, y''=m(m-1),x^m-2
  1. Substituindo em x^2y''+5xy'+4y=0
x^2l[m(m-1)x^m-2r]+5xl[m,x^m-1r]+4,x^m=0 ;;Longrightarrow;;m(m-1)+5m+4=0
Isso é a equação característica.

Passo 3

Resolvendo a equação característica
m(m-1)+5m+4 = m^2- m +5m +4 = m^2+4m+4 =0 ;;Longrightarrow;;(m+2)^2=0 ;;Longrightarrow;;m=-2 (dupla)
Quando a raiz é dupla, a solução geral vira
y(x) = C1,x^-2 ;+; C2,x^-2ln(x)
Logo, as duas soluções independentes básicas são
x^-2 e x^-2ln(x)

Passo 4

Das funções dadas, f(x)=1/x^2 é exatamente x^-2, e h(x)=ln(x)/x^2 é x^-2ln(x). Já g(x)=1/x^3=x^-3 não aparece na combinação linear da solução geral. Portanto g não resolve a EDO.

Resposta

Somente f e h são soluções da EDO.

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