Pergunta 3 0,3 pts
Considere a equação diferencial ordinária y^prime prime(x)+4 y(x)=0. dentre as funções:
f(x)=cos (2 x) g(x)=sen(2 x) h(x)=5 cos (2 x)+3 sen(2 x)
Podemos afirmar que
Somente h é solução da edo.
Somente fe g são soluções da edo.
Somente g é solução da edo.
Nenhuma das outras alternativas.
Somente f é solução da edo.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma EDO de segunda ordem homogênea com coeficiente constante:
y''(x) + 4,y(x) = 0
O conteúdo é “Equação Diferencial Ordinária linear de 2ª ordem homogênea com coeficientes constantes”. Pra resolver, a gente vai usar a teoria da solução geral (cos e sen) e testar cada função substituindo na equação.

Passo 2

Teoria básica: toda EDO do tipo
y'' + omega^2,y = 0
tem solução geral
y(x) = Acos(omega x) + Bsin(omega x),
onde A e B são constantes. No nosso caso omega^2 = 4, ou seja omega = 2. Então qualquer combinação Acos(2x) + Bsin(2x) deve resolver a equação.

Passo 3

Testando f(x)=cos(2x):
  1. Derivada primeira:
f'(x) = -2sin(2x)
  1. Derivada segunda:
f''(x) = -4cos(2x)
  1. Substituindo em y'' + 4y:
f''(x) + 4,f(x) = -4cos(2x) + 4cos(2x) = 0
Logo f é solução.

Passo 4

Testando g(x)=sin(2x):
  1. g'(x) = 2cos(2x).
  2. g''(x) = -4sin(2x).
g''(x) + 4,g(x) = -4sin(2x) + 4sin(2x) = 0
Então g também é solução.

Passo 5

Testando h(x) = 5cos(2x) + 3sin(2x):
1)
h''(x) = 5(-4cos(2x)) + 3(-4sin(2x)) = -20cos(2x) -12sin(2x)
h''(x) + 4,h(x) = (-20cos + -12sin) + 4(5cos + 3sin) = (-20+20)cos + (-12+12)sin = 0
Portanto h também resolve a EDO.

Passo 6

Concluímos que as três funções f, g e h satisfazem y'' +4y=0. Como nenhuma das alternativas listadas fala “ f, g e h”, a única opção correta é descartar todas as outras.

Resposta

Nenhuma das outras alternativas.

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