Questão 5 [2 pts - 1 cada]:
[Um Critério de Divisibilidade por 6] (não é o critério usual!) Prove que um número inteiro
é divisível por 6 se, e somente se,
é divisível por 6 .
[Um Critério de Divisibilidade por 6] (não é o critério usual!) Prove que um número inteiro
Passo 1
O enunciado pede que mostremos, usando divisibilidade e aritmética modular, que um inteiro
é divisível por 6 se, e somente se
é divisível por 6. Vamos usar as propriedades de congruência módulo 6 e, em particular, que
.
Passo 2
Observamos primeiro que
Logo, elevando ambos os lados a uma potência
, temos
Portanto, em módulo 6,
Passo 3
Mostramos que para todo
vale
Base (
):
.
Passo indutivo: suponha . Então
Passo indutivo: suponha
Logo, para todo
,
. Substituindo em
, obtemos
Passo 4
Concluímos que
Resposta
O número
é divisível por 6 se, e somente se,
é divisível por 6.