Questão 5 [2 pts - 1 cada]:
[Um Critério de Divisibilidade por 6] (não é o critério usual!) Prove que um número inteiro
n=n_{0}+10 n_{1}+10^{2} n_{2}+\ldots+10^{r} n_{r}é divisível por 6 se, e somente se, n_{0}+4\left(n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{r}\right) é divisível por 6 .

Passo 1

O enunciado pede que mostremos, usando divisibilidade e aritmética modular, que um inteiro
n = n_{0} + 10\,n_{1} + 10^{2}\,n_{2} + \cdots + 10^{r}\,n_{r}
é divisível por 6 se, e somente se
n_{0} + 4\bigl(n_{1} + n_{2} + \cdots + n_{r}\bigr)
é divisível por 6. Vamos usar as propriedades de congruência módulo 6 e, em particular, que 10\equiv4\pmod6.

Passo 2

Observamos primeiro que
10 \equiv 4 \pmod{6}.
Logo, elevando ambos os lados a uma potência k\ge1, temos
10^{k} \equiv 4^{k} \pmod{6}.
Portanto, em módulo 6,
n \equiv n_{0}\cdot10^{0} + n_{1}\cdot10^{1} + \cdots + n_{r}\cdot10^{r} \equiv n_{0} + n_{1}\,4^{1} + n_{2}\,4^{2} + \cdots + n_{r}\,4^{r} \pmod{6}.

Passo 3

Mostramos que para todo k\ge1 vale
4^{k}\equiv4\pmod6.
Base ( k=1): 4^{1}=4\equiv4\pmod6.
Passo indutivo: suponha 4^{k}\equiv4\pmod6. Então
4^{k+1}=4\cdot4^{k}\equiv4\cdot4=16\equiv4\pmod6.
Logo, para todo k\ge1, 4^{k}\equiv4\pmod6. Substituindo em n\equiv\cdots, obtemos
n\equiv n_{0} + 4\,(n_{1} + n_{2} + \cdots + n_{r}) \pmod{6}.

Passo 4

Concluímos que
6\mid n \quad\Longleftrightarrow\quad n\equiv0\pmod6 \quad\Longleftrightarrow\quad n_{0} + 4\bigl(n_{1} + \cdots + n_{r}\bigr)\equiv0\pmod6 \quad\Longleftrightarrow\quad 6\mid \bigl(n_{0} +4(n_{1}+\cdots+n_{r})\bigr).

Resposta

O número n é divisível por 6 se, e somente se,
n_{0} + 4\bigl(n_{1} + n_{2} + \cdots + n_{r}\bigr)
é divisível por 6.

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