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Uma barra de aço 1045 é retirada de um forno de aquecimento a 900^circ C e colocada a resfriar em temperatura ambiente de 20^circ C. Após 2 minutos a temperatura da barra abaixou para 680^circ C. Quanto tempo será necessário para que a barra atinja a temperatura de 340^circ C ?
Aproximadamente 7 minutos.
Aproximadamente 10,5 minutos.
Nenhuma das outras alternativas.
Aproximadamente 14 minutos.
Aproximadamente 3,5 minutos.

Passo 1

O problema trata de uma barra de aço retirada a 900^circC que resfria num ambiente de 20^circC. Após 2 minutos a barra está a 680^circC e queremos saber quando ela chegará a 340^circC. O conteúdo é a Lei de Resfriamento de Newton e vamos precisar usar sua fórmula para determinar a constante de resfriamento k e depois o tempo t.

Passo 2

A Lei de Resfriamento de Newton diz que a temperatura T(t) da barra num instante t é dada por:
T(t)=Tamb+(T0 - Tamb)e^-kt
onde Tamb=20^circC e T0=900^circC.

Passo 3

Para encontrar k, usamos o dado de que em t=2 min a temperatura é 680^circC:
680 = 20 + (900 - 20)e^-2k 680 = 20 + 880 e^-2k 880 e^-2k = 660 e^-2k = 0.75 -2k = ln(0.75) k = -tfrac12ln(0.75)

Passo 4

Agora queremos t tal que T(t)=340^circC:
340 = 20 + 880 e^-kt 880 e^-kt = 320 e^-kt = tfrac320880 = 0.3636 -kt = ln(0.3636) t = -1kln(0.3636)
Substituindo k = -tfrac12ln(0.75) obtemos
t = ln(880/320)(tfrac12ln(4/3)) = 2ln(2.75)ln(4/3)

Passo 5

Calculando numericamente:
ln(2.75) approx 1.0116, ln(4/3) approx 0.2877 t approx 2 times 1.01160.2877 approx 7.03 minutos
Portanto, leva cerca de 7 minutos para atingir 340^circC.

Resposta

Aproximadamente 7 minutos.

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