1. Permutam-se, de todas as formas possíveis, os algarismo 1,2,4,6,7 e escrevem-se os números, assim formados, em ordem crescente. Determine:
    a) que lugar ocupa 62417.
    b) que número ocupa o 66^{\circ} lugar.
    c) qual o 166^{\circ} algarismo escrito.
    d) a soma dos números assim formados.

Passo 1

Vou reescrever claramente o que o enunciado pede e os dados que temos, para não nos perdermos no caminho.
  • Temos os algarismos 1,2,4,6,7 e escrevemos todos os números de 5 algarismos formados por permutações desses algarismos (ou seja, sem repetição), em ordem crescente.
  • Perguntas:
    a) Que lugar ocupa o número 62417 nessa lista?
    b) Qual número ocupa o 66^{\circ} lugar?
    c) Qual é o 166^{\circ} algarismo escrito se escrevermos todos os números consecutivamente (um após o outro)?
    d) Qual é a soma de todos os números assim formados?

Passo 2

Conceitos úteis e contagem básica (aula rápida, calma e divertida).
  • Número total de permutações dos 5 algarismos é (5!). Isso porque para formar um número de 5 posições escolhemos um dos 5 algarismos para a primeira posição, depois um dos 4 restantes para a segunda, etc. Então
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.
  • Se fixamos o primeiro algarismo, os restantes podem ser permutados de (4!) maneiras. Logo, há (4!) números começando por cada algarismo.
  • De modo geral, ao construir um número em ordem crescente (lexicográfica), para saber quantos números vêm antes de um dado prefixo, contamos quantos algarismos menores que o algarismo do prefixo podem ocupar a posição atual e multiplicamos pelo fatorial do número de posições restantes. Vou usar isso em (a) e (b).

Passo 3

Resposta da parte (a): posição de 62417.
Vamos contar quantos números vêm antes de 62417 na ordem crescente.
  1. Primeiro algarismo é 6. Algarismos menores que 6 entre nossos dígitos são 1,2,4 — são 3 opções. Para cada uma dessas opções há 4! números. Então números com primeiro dígito menor que 6:
3\cdot 4! = 3\cdot 24 = 72.
  1. Agora consideramos números que começam com 6. O segundo algarismo do nosso número é 2. Entre os dígitos restantes \{1,2,4,7\}, os menores que 2 são só 1 (uma opção). Para cada escolha do segundo dígito há 3! números. Então números com prefixo 6 e segundo dígito menor que 2:
1\cdot 3! = 1\cdot 6 = 6.
Subtotal antes de 62\ldots: 72+6=78.
  1. Agora prefixo 62. O terceiro dígito do nosso número é 4. Dos dígitos restantes \{1,4,7\}, menor que 4 é só 1 (uma opção). Para cada escolha do terceiro dígito há 2! números. Então:
1\cdot 2! = 2.
Subtotal antes de 624\ldots: 78+2=80.
  1. Para a quarta posição o dígito é 1. Dos dígitos restantes \{1,7\} não há nenhum menor que 1, então não acrescentamos nada.
Portanto, o número 62417 tem 80 números antes dele; sua posição é
80+1 = 81.

Passo 4

Resposta da parte (b): qual número ocupa o 66^{\circ} lugar.
Vou construir o 66^{\circ} número por blocos.
  1. Cada primeiro dígito determina um bloco de 4! = 24 números. Os blocos (em ordem crescente do primeiro dígito) são:
  • começar por 1: posições 1 a 24,
  • começar por 2: posições 25 a 48,
  • começar por 4: posições 49 a 72,
  • etc.
Como 66 está entre 49 e 72, o primeiro dígito é 4. O índice dentro do bloco é
66 - 48 = 18
(ou seja, é o 18^{\circ} número do bloco que começa com 4).
  1. Agora restam os dígitos \{1,2,6,7\}. Cada escolha do segundo dígito dá 3! = 6 números. Os possíveis segundos dígitos em ordem são 1,2,6,7:
  • com segundo dígito 1: índices 1 a 6,
  • com 2: 7 a 12,
  • com 6: 13 a 18,
  • com 7: 19 a 24.
O 18^{\circ} do bloco cai no sub-bloco com segundo dígito 6. Índice dentro desse sub-bloco:
18 - 12 = 6.
  1. Restam \{1,2,7\}. Cada escolha do terceiro dígito dá 2! = 2 números. Terceiros dígitos em ordem: 1 (1–2), 2 (3–4), 7 (5–6). Como queremos o índice 6, o terceiro dígito é 7. Índice dentro desse sub-sub-bloco:
6 - 4 = 2.
  1. Restam \{1,2\}. As duas permutações em ordem são 12 (índice 1) e 21 (índice 2). Nosso índice é 2, então as últimas duas casas são 21.
Conclusão: o 66^{\circ} número é
46721.

Passo 5

Resposta da parte (c): qual o 166^{\circ} algarismo escrito (quando concatenamos todos os números).
Explicação do raciocínio: escrevendo os 120 números, cada um tem 5 algarismos, então a sequência concatenada tem 120\cdot5 = 600 algarismos. Para achar o 166^{\circ} algarismo, primeiro localizamos a qual número ele pertence e depois qual posição dentro desse número.
  1. Índice do número que contém o 166^{\circ} algarismo:
\text{número\_índice} = \left\lceil \dfrac{166}{5} \right\rceil = 34.úí
Ou veja: os primeiros 33 números ocupam 33\cdot5 = 165 algarismos, então o 166^{\circ} é o primeiro algarismo do 34^{\circ} número.
  1. Precisamos achar o 34^{\circ} número da lista (já fiz passo semelhante no (b)). Cada primeiro dígito dá bloco de 24:
  • bloco 1: posições 1 24,
  • bloco 2: 25 48.
Como 34 está em 25 48, o primeiro dígito é 2. Índice dentro do bloco:
34 - 24 = 10.
  1. Restam \{1,4,6,7\}. Cada segundo dígito dá 3! = 6 números. Ordens: 1 (1–6), 4 (7–12). O índice 10 cai no segundo dígito 4. Índice no sub-bloco:
10 - 6 = 4.
  1. Restam \{1,6,7\}. Cada terceiro dígito dá 2! =2. Ordens: 1 (1–2), 6 (3–4). Índice 4 → terceiro dígito 6. Índice no sub-sub-bloco:
4 - 2 = 2.
  1. Restam \{1,7\}. As permutações são 17 (índice 1) e 71 (índice 2). Índice 2 → últimas casas 71.
Portanto o 34^{\circ} número é
24671.
E como o 166^{\circ} algarismo é o primeiro algarismo desse número, o 166^{\circ} algarismo é
2.

Passo 6

Resposta da parte (d): soma de todos os números formados. (Truque elegante e muito útil na prova.)
Observação-chave: em todas as permutações, cada algarismo aparece o mesmo número de vezes em cada posição decimal. Há 5 posições (unidades, dezenas, centenas, milhares, dezenas de milhar). Para uma posição fixa, cada um dos 5 algarismos aparece exatamente (4!) vezes, porque fixamos essa posição e permutamos os outros 4.
  1. Soma dos algarismos disponíveis:
1+2+4+6+7 = 20.
  1. Soma dos dígitos que aparecem numa posição fixa (por exemplo, unidades) ao longo de todas as permutações é
20\cdot 4! = 20\cdot 24 = 480.
  1. Agora cada posição tem um peso decimal 10^k. A soma total é a soma das contribuições de todas as 5 posições:
\text{soma total} = 480\cdot(1 + 10 + 10^2 + 10^3 + 10^4).
  1. Calcule a soma geométrica:
1+10+100+1000+10000 = 11111.
  1. Então
\text{soma total} = 480\cdot 11111 = 5\,333\,280.

Resposta

a) 81
b) 46721
c) 2
d) 5333280

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