- Permutam-se, de todas as formas possíveis, os algarismo
e escrevem-se os números, assim formados, em ordem crescente. Determine:
a) que lugar ocupa 62417.
b) que número ocupa o
lugar.
c) qual o
algarismo escrito.
d) a soma dos números assim formados.
a) que lugar ocupa 62417.
b) que número ocupa o
c) qual o
d) a soma dos números assim formados.
Passo 1
Vou reescrever claramente o que o enunciado pede e os dados que temos, para não nos perdermos no caminho.
- Temos os algarismos
e escrevemos todos os números de algarismos formados por permutações desses algarismos (ou seja, sem repetição), em ordem crescente. - Perguntas:
a) Que lugar ocupa o númeronessa lista?
b) Qual número ocupa olugar?
c) Qual é oalgarismo escrito se escrevermos todos os números consecutivamente (um após o outro)?
d) Qual é a soma de todos os números assim formados?
Passo 2
Conceitos úteis e contagem básica (aula rápida, calma e divertida).
- Número total de permutações dos
algarismos é . Isso porque para formar um número de posições escolhemos um dos algarismos para a primeira posição, depois um dos restantes para a segunda, etc. Então
- Se fixamos o primeiro algarismo, os restantes podem ser permutados de
maneiras. Logo, há números começando por cada algarismo. - De modo geral, ao construir um número em ordem crescente (lexicográfica), para saber quantos números vêm antes de um dado prefixo, contamos quantos algarismos menores que o algarismo do prefixo podem ocupar a posição atual e multiplicamos pelo fatorial do número de posições restantes. Vou usar isso em (a) e (b).
Passo 3
Resposta da parte (a): posição de
.
Vamos contar quantos números vêm antes de na ordem crescente.
Vamos contar quantos números vêm antes de
- Primeiro algarismo é
. Algarismos menores que entre nossos dígitos são — são opções. Para cada uma dessas opções há números. Então números com primeiro dígito menor que :
- Agora consideramos números que começam com
. O segundo algarismo do nosso número é . Entre os dígitos restantes , os menores que são só (uma opção). Para cada escolha do segundo dígito há números. Então números com prefixo e segundo dígito menor que :
Subtotal antes de
:
.
- Agora prefixo
. O terceiro dígito do nosso número é . Dos dígitos restantes , menor que é só (uma opção). Para cada escolha do terceiro dígito há números. Então:
Subtotal antes de
:
.
- Para a quarta posição o dígito é
. Dos dígitos restantes não há nenhum menor que , então não acrescentamos nada.
Portanto, o número
tem
números antes dele; sua posição é
Passo 4
Resposta da parte (b): qual número ocupa o
lugar.
Vou construir o número por blocos.
Vou construir o
- Cada primeiro dígito determina um bloco de
números. Os blocos (em ordem crescente do primeiro dígito) são:
- começar por
: posições a , - começar por
: posições a , - começar por
: posições a , - etc.
Como
está entre
e
, o primeiro dígito é
. O índice dentro do bloco é
(ou seja, é o
número do bloco que começa com
).
- Agora restam os dígitos
. Cada escolha do segundo dígito dá números. Os possíveis segundos dígitos em ordem são :
- com segundo dígito
: índices a , - com
: a , - com
: a , - com
: a .
O
do bloco cai no sub-bloco com segundo dígito
. Índice dentro desse sub-bloco:
- Restam
. Cada escolha do terceiro dígito dá números. Terceiros dígitos em ordem: (1–2), (3–4), (5–6). Como queremos o índice , o terceiro dígito é . Índice dentro desse sub-sub-bloco:
- Restam
. As duas permutações em ordem são (índice ) e (índice ). Nosso índice é , então as últimas duas casas são .
Conclusão: o
número é
Passo 5
Resposta da parte (c): qual o
algarismo escrito (quando concatenamos todos os números).
Explicação do raciocínio: escrevendo os números, cada um tem
algarismos, então a sequência concatenada tem
algarismos. Para achar o
algarismo, primeiro localizamos a qual número ele pertence e depois qual posição dentro desse número.
Explicação do raciocínio: escrevendo os
- Índice do número que contém o
algarismo:
Ou veja: os primeiros
números ocupam
algarismos, então o
é o primeiro algarismo do
número.
- Precisamos achar o
número da lista (já fiz passo semelhante no (b)). Cada primeiro dígito dá bloco de :
- bloco
: posições – , - bloco
: – .
Como
está em
–
, o primeiro dígito é
. Índice dentro do bloco:
- Restam
. Cada segundo dígito dá números. Ordens: (1–6), (7–12). O índice cai no segundo dígito . Índice no sub-bloco:
- Restam
. Cada terceiro dígito dá . Ordens: (1–2), (3–4). Índice → terceiro dígito . Índice no sub-sub-bloco:
- Restam
. As permutações são (índice 1) e (índice 2). Índice → últimas casas .
Portanto o
número é
E como o
algarismo é o primeiro algarismo desse número, o
algarismo é
Passo 6
Resposta da parte (d): soma de todos os números formados. (Truque elegante e muito útil na prova.)
Observação-chave: em todas as permutações, cada algarismo aparece o mesmo número de vezes em cada posição decimal. Há posições (unidades, dezenas, centenas, milhares, dezenas de milhar). Para uma posição fixa, cada um dos
algarismos aparece exatamente
vezes, porque fixamos essa posição e permutamos os outros
.
Observação-chave: em todas as permutações, cada algarismo aparece o mesmo número de vezes em cada posição decimal. Há
- Soma dos algarismos disponíveis:
- Soma dos dígitos que aparecem numa posição fixa (por exemplo, unidades) ao longo de todas as permutações é
- Agora cada posição tem um peso decimal
. A soma total é a soma das contribuições de todas as posições:
- Calcule a soma geométrica:
- Então
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)