1. Quantos dados diferentes é possível formar gravando números de 1 a 6 sobre as faces de um cubo?
    a) Suponha uma face de cada cor.
    b) Suponha faces iguais.
    c) Suponha que as faces são iguais e que a soma dos pontos de faces opostas deva ser igual a 7 .

Passo 1

O enunciado pede para contar de quantas maneiras diferentes podemos gravar os números de 1 a 6 nas faces de um cubo, em três situações distintas:
  • (a) “Suponha uma face de cada cor.” — isto significa que as faces são todas distinguíveis (cada face tem uma cor única), então duas gravações que apenas diferem por trocar duas faces coloridas são consideradas diferentes.
  • (b) “Suponha faces iguais.” — isto significa que as faces não são distinguíveis fisicamente: duas gravações que podem ser obtidas uma da outra por rotação do cubo são consideradas a mesma gravação. Ou seja, contamos etiquetagens dos números nas faces módulo rotações do cubo.
  • (c) “Suponha que as faces são iguais e que a soma dos pontos de faces opostas deva ser igual a 7.” — além das faces serem indistinguíveis (identificadas por rotações), há a restrição extra de que faces opostas sejam os pares (1,6), (2,5), (3,4).
Informações relevantes dadas:
  • Temos exatamente os números 1,2,3,4,5,6 para gravar, cada um usado exatamente uma vez.
  • No caso (a) as faces são distinguíveis; no (b) e (c) as faces são indistinguíveis (identificamos configurações por rotações do cubo).
  • No caso (c) temos a restrição de pares opostos que somam 7.
A resolução começa agora.

Passo 2

(a) Contagem quando as faces são todas de cores diferentes (faces distinguíveis).
Explicação do raciocínio:
  • Se as faces são distinguíveis, escolher como gravar os números é exatamente escolher uma bijeção entre o conjunto de faces (6 objetos distintos) e o conjunto dos números \{1,2,3,4,5,6\}.
  • O número de bijeções de um conjunto de 6 elementos em outro de 6 elementos é 6! (lê-se “6 fatorial”), e 6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.
  • O conceito de fatorial: \,n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Serve para contar ordenações/permutations de n objetos distintos.
Cálculo passo a passo:
6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720.
Portanto, quando as faces são todas de cores diferentes, existem \,720 gravuras diferentes.

Passo 3

(b) Contagem quando as faces são iguais (identificamos configurações por rotações do cubo).
Explicação didática do método:
  • Agora as faces não são distinguíveis fisicamente: duas gravações que sejam iguais após aplicar uma rotação do cubo devem ser consideradas a mesma.
  • O grupo das rotações rígidas do cubo (apenas rotações, sem reflexões) tem 24 elementos. Isso é um fato padrão: existem 24 rotações que enviam o cubo em si (rotacoes que mapeiam o cubo sobre si, preservando orientação).
  • Temos 6! gravações possíveis se distinguissemos as faces (como em (a)). O grupo de rotações atua sobre esse conjunto de gravações. Cada órbita sob essa ação agrupa as gravações que são iguais até rotação.
  • Um resultado simples (aplicação do princípio órbita-estabilizador para o caso de etiquetas todas distintas) é que, quando todos os rótulos são distintos, nenhuma rotação não-trivial pode deixar uma gravação completamente inalterada: o estabilizador de qualquer gravação é apenas a rotação identidade. Intuitivamente, porque se uma rotação não-trivial deixasse tudo igual, então algum rótulo teria que ir para um lugar com o mesmo rótulo — mas todos os rótulos são distintos, então só a identidade faz isso.
  • Daí cada órbita tem tamanho exatamente 24. O número de órbitas (configurações distintas até rotação) é então \dfrac{6!}{24}.
Cálculo passo a passo:
\frac{6!}{24}=\frac{720}{24}=30.
Portanto, existem \,30 gravações diferentes quando as faces são iguais (identificadas por rotações).

Passo 4

Preparação para (c): entender a restrição "faces opostas somam 7" e quantas gravações a restrição permite antes de considerar rotações.
Explicação do raciocínio:
  • A condição "faces opostas somam 7" fixa quais pares de números ficam em faces opostas: os pares são \{1,6\}, \{2,5\}, \{3,4\}.
  • Primeiro vamos contar quantas etiquetagens (sem identificar por rotações) satisfazem essa restrição. Depois vamos identificar essas etiquetagens que são iguais por rotação.
  • Para contar etiquetagens que satisfazem a condição: pense nos três eixos que conectam centros de faces opostas do cubo. Cada eixo receberá um dos pares \{1,6\},\{2,5\},\{3,4\}.
  • Escolher qual par vai em qual eixo: 3! maneiras.
  • Para cada eixo, dentro do par temos duas possibilidades de colocar os números: por exemplo, no eixo escolhido para \{1,6\} podemos colocar 1 na face “superior” e 6 na face oposta, ou vice-versa — isso dá 2 escolhas por eixo. Como há 3 eixos, são 2^3 escolhas de orientação dentro dos pares.
  • Logo, o número de etiquetagens que satisfazem a condição (antes de identificar por rotações) é:
3!\cdot 2^3 = 6\cdot 8 = 48.
Resumo: existem 48 maneiras de gravar os números de modo que faces opostas some 7, se considerarmos as faces distinguíveis.

Passo 5

(c) Contagem final quando as faces são iguais e opostos somam 7: identificar por rotações.
Estratégia para eliminar duplicações por rotação:
  • Já contamos que há 48 etiquetagens que respeitam os pares opostos.
  • Agora precisamos identificar quantas dessas são realmente distintas quando permitimos rotacionar o cubo.
  • Podemos observar que, como cada etiquetagem usa números distintos e as restrições colocam pares distintos em eixos distintos, nenhuma rotação não-trivial mantém uma etiquetagem fixa. Em outras palavras, o estabilizador de qualquer etiquetagem (o subconjunto de rotações que deixam a etiquetagem inalterada) é só a identidade. Explicação detalhada:
    • Se uma rotação não-trivial deixasse a etiquetagem inalterada, ela teria que permutar as faces de modo a manter cada número no mesmo local após permutação. Como todos os números 1,\dots,6 são distintos, isso implicaria numa permuta que fixa cada número — logo a permuta seria a identidade. Portanto, não existem rotações não-triviais que fixem a etiquetagem.
    • (Outra forma de ver: qualquer rotação não-trivial move alguma face para outra posição; como os rótulos são distintos, isso muda a gravação.)
  • Assim a ação do grupo de rotações (de ordem 24) sobre as 48 etiquetagens é livre: cada órbita tem exatamente 24 elementos.
  • Pelo princípio de contagem de órbitas (ou seja, dividir o número total de etiquetagens pelo tamanho do grupo quando a ação é livre), o número de órbitas é:
\frac{48}{24}=2.
Complemento explicativo (intuitivo e útil na prova):
  • Uma maneira prática de ver os dois casos é fixar o número 1 no topo e 6 embaixo (podemos fazer isso usando rotações do cubo). Restam os quatro números \{2,3,4,5\} no “equador” do cubo, com as restrições 2 oposto a 5 e 3 oposto a 4. Há 8 maneiras de colocar esses quatro números no equador respeitando os pares, e as rotações em torno do eixo vertical (quatro rotações) agem sobre essas 8 maneiras. Aplicando o lema de Burnside para esse pequeno problema dá (8+0+0+0)/4=2. Isso coincide com o cálculo anterior e explica por que existem exatamente duas maneiras essencialmente diferentes — são as duas “mãos” (quiralidade) do dado padrão, que são imagens especulares uma da outra e não são congruentes por rotação.

Resposta

(a) 720
(b) 30
(c) 2

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