- Quantos dados diferentes é possível formar gravando números de 1 a 6 sobre as faces de um cubo?
a) Suponha uma face de cada cor.
b) Suponha faces iguais.
c) Suponha que as faces são iguais e que a soma dos pontos de faces opostas deva ser igual a 7 .
a) Suponha uma face de cada cor.
b) Suponha faces iguais.
c) Suponha que as faces são iguais e que a soma dos pontos de faces opostas deva ser igual a 7 .
Passo 1
O enunciado pede para contar de quantas maneiras diferentes podemos gravar os números de
a
nas faces de um cubo, em três situações distintas:
- (a) “Suponha uma face de cada cor.” — isto significa que as faces são todas distinguíveis (cada face tem uma cor única), então duas gravações que apenas diferem por trocar duas faces coloridas são consideradas diferentes.
- (b) “Suponha faces iguais.” — isto significa que as faces não são distinguíveis fisicamente: duas gravações que podem ser obtidas uma da outra por rotação do cubo são consideradas a mesma gravação. Ou seja, contamos etiquetagens dos números nas faces módulo rotações do cubo.
- (c) “Suponha que as faces são iguais e que a soma dos pontos de faces opostas deva ser igual a
.” — além das faces serem indistinguíveis (identificadas por rotações), há a restrição extra de que faces opostas sejam os pares , , .
Informações relevantes dadas:
- Temos exatamente os números
para gravar, cada um usado exatamente uma vez. - No caso (a) as faces são distinguíveis; no (b) e (c) as faces são indistinguíveis (identificamos configurações por rotações do cubo).
- No caso (c) temos a restrição de pares opostos que somam
.
A resolução começa agora.
Passo 2
(a) Contagem quando as faces são todas de cores diferentes (faces distinguíveis).
Explicação do raciocínio:
- Se as faces são distinguíveis, escolher como gravar os números é exatamente escolher uma bijeção entre o conjunto de faces (6 objetos distintos) e o conjunto dos números
. - O número de bijeções de um conjunto de 6 elementos em outro de 6 elementos é
(lê-se “6 fatorial”), e . - O conceito de fatorial:
. Serve para contar ordenações/permutations de objetos distintos.
Cálculo passo a passo:
Portanto, quando as faces são todas de cores diferentes, existem
gravuras diferentes.
Passo 3
(b) Contagem quando as faces são iguais (identificamos configurações por rotações do cubo).
Explicação didática do método:
- Agora as faces não são distinguíveis fisicamente: duas gravações que sejam iguais após aplicar uma rotação do cubo devem ser consideradas a mesma.
- O grupo das rotações rígidas do cubo (apenas rotações, sem reflexões) tem
elementos. Isso é um fato padrão: existem rotações que enviam o cubo em si (rotacoes que mapeiam o cubo sobre si, preservando orientação). - Temos
gravações possíveis se distinguissemos as faces (como em (a)). O grupo de rotações atua sobre esse conjunto de gravações. Cada órbita sob essa ação agrupa as gravações que são iguais até rotação. - Um resultado simples (aplicação do princípio órbita-estabilizador para o caso de etiquetas todas distintas) é que, quando todos os rótulos são distintos, nenhuma rotação não-trivial pode deixar uma gravação completamente inalterada: o estabilizador de qualquer gravação é apenas a rotação identidade. Intuitivamente, porque se uma rotação não-trivial deixasse tudo igual, então algum rótulo teria que ir para um lugar com o mesmo rótulo — mas todos os rótulos são distintos, então só a identidade faz isso.
- Daí cada órbita tem tamanho exatamente
. O número de órbitas (configurações distintas até rotação) é então .
Cálculo passo a passo:
Portanto, existem
gravações diferentes quando as faces são iguais (identificadas por rotações).
Passo 4
Preparação para (c): entender a restrição "faces opostas somam
" e quantas gravações a restrição permite antes de considerar rotações.
Explicação do raciocínio:
- A condição "faces opostas somam
" fixa quais pares de números ficam em faces opostas: os pares são , , . - Primeiro vamos contar quantas etiquetagens (sem identificar por rotações) satisfazem essa restrição. Depois vamos identificar essas etiquetagens que são iguais por rotação.
- Para contar etiquetagens que satisfazem a condição: pense nos três eixos que conectam centros de faces opostas do cubo. Cada eixo receberá um dos pares
. - Escolher qual par vai em qual eixo:
maneiras. - Para cada eixo, dentro do par temos duas possibilidades de colocar os números: por exemplo, no eixo escolhido para
podemos colocar na face “superior” e na face oposta, ou vice-versa — isso dá escolhas por eixo. Como há 3 eixos, são escolhas de orientação dentro dos pares. - Logo, o número de etiquetagens que satisfazem a condição (antes de identificar por rotações) é:
Resumo: existem
maneiras de gravar os números de modo que faces opostas some
, se considerarmos as faces distinguíveis.
Passo 5
(c) Contagem final quando as faces são iguais e opostos somam
: identificar por rotações.
Estratégia para eliminar duplicações por rotação:
- Já contamos que há
etiquetagens que respeitam os pares opostos. - Agora precisamos identificar quantas dessas são realmente distintas quando permitimos rotacionar o cubo.
- Podemos observar que, como cada etiquetagem usa números distintos e as restrições colocam pares distintos em eixos distintos, nenhuma rotação não-trivial mantém uma etiquetagem fixa. Em outras palavras, o estabilizador de qualquer etiquetagem (o subconjunto de rotações que deixam a etiquetagem inalterada) é só a identidade. Explicação detalhada:
- Se uma rotação não-trivial deixasse a etiquetagem inalterada, ela teria que permutar as faces de modo a manter cada número no mesmo local após permutação. Como todos os números
são distintos, isso implicaria numa permuta que fixa cada número — logo a permuta seria a identidade. Portanto, não existem rotações não-triviais que fixem a etiquetagem. - (Outra forma de ver: qualquer rotação não-trivial move alguma face para outra posição; como os rótulos são distintos, isso muda a gravação.)
- Se uma rotação não-trivial deixasse a etiquetagem inalterada, ela teria que permutar as faces de modo a manter cada número no mesmo local após permutação. Como todos os números
- Assim a ação do grupo de rotações (de ordem
) sobre as etiquetagens é livre: cada órbita tem exatamente elementos. - Pelo princípio de contagem de órbitas (ou seja, dividir o número total de etiquetagens pelo tamanho do grupo quando a ação é livre), o número de órbitas é:
Complemento explicativo (intuitivo e útil na prova):
- Uma maneira prática de ver os dois casos é fixar o número
no topo e embaixo (podemos fazer isso usando rotações do cubo). Restam os quatro números no “equador” do cubo, com as restrições oposto a e oposto a . Há maneiras de colocar esses quatro números no equador respeitando os pares, e as rotações em torno do eixo vertical (quatro rotações) agem sobre essas maneiras. Aplicando o lema de Burnside para esse pequeno problema dá . Isso coincide com o cálculo anterior e explica por que existem exatamente duas maneiras essencialmente diferentes — são as duas “mãos” (quiralidade) do dado padrão, que são imagens especulares uma da outra e não são congruentes por rotação.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)