Resolva os problemas de valor inicial
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=0,
\begin{aligned} & y(0)=1 \\\ & y^{\prime}(0)=4 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 5y' + 6y = 0,
com as condições
y(0)=1,\quad y'(0)=4.
O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos:
  1. montar a equação característica;
  2. obter a solução geral;
  3. usar as condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

A equação característica associada a
y'' - 5y' + 6y = 0
é
r^2 - 5r + 6 = 0.
Fatorando, temos
(r - 2)(r - 3) = 0
logo as raízes são
r_1 = 2,\quad r_2 = 3.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{3t}.
Dessa forma, a derivada é
y'(t) = 2C_1 e^{2t} + 3C_2 e^{3t}.

Passo 4

Aplicando as condições iniciais em t=0:
y(0)=C_1 + C_2 = 1,
y'(0)=2C_1 + 3C_2 = 4.
Do primeiro, C_1 = 1 - C_2. Substituindo no segundo:
2(1 - C_2) + 3C_2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad 2 - 2C_2 + 3C_2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = 2.
Logo C_1 = 1 - 2 = -1.

Passo 5

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução particular:
y(t) = -\,e^{2t} + 2\,e^{3t}.

Resposta

y(t) = -e^{2t} + 2e^{3t}

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