Resolva os problemas de valor inicial
,
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
. O conteúdo é “equação diferencial homogênea de ordem 2” e vamos usar o polinômio característico para encontrar a solução geral, depois impor as condições iniciais.
Passo 2
Para montar o polinômio característico, substituímos
em
o que leva a
Passo 3
Resolvendo
reconhecemos um quadrado perfeito:
ou seja, há uma raiz dupla
Passo 4
Quando o polinômio característico tem raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Aplicamos
. Substituindo
em
dá
Logo
.
Passo 6
Agora calculamos
e impomos
.
Derivando
Derivando
pelo produto e pela regra da cadeia, obtemos
Com
e
,
Como
, segue
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral
resulta em