Resolva os problemas de valor inicial
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0,
y(0)=1, y^{\prime}(0)=-1 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 4y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-1. O conteúdo é “equação diferencial homogênea de ordem 2” e vamos usar o polinômio característico para encontrar a solução geral, depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Para montar o polinômio característico, substituímos y=e^{r x} em
y'' -4y' +4y = 0,
o que leva a
r^2 - 4r + 4 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 4r + 4 = 0
reconhecemos um quadrado perfeito:
r^2 - 4r + 4 = (r-2)^2 = 0,
ou seja, há uma raiz dupla
r = 2 \quad(\text{multiplicidade 2}).

Passo 4

Quando o polinômio característico tem raiz dupla r_1=r_2=2, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)\,e^{2x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Aplicamos y(0)=1. Substituindo x=0 em
y(x) = (C_1 + C_2\,x)e^{2x}
y(0) = (C_1 + C_2\cdot 0)\,e^0 = C_1 = 1.
Logo C_1 = 1.

Passo 6

Agora calculamos y'(x) e impomos y'(0)=-1.
Derivando
y(x) = (C_1 + C_2\,x)e^{2x}
pelo produto e pela regra da cadeia, obtemos
y'(x) = C_2\,e^{2x} + (C_1 + C_2\,x)\,2\,e^{2x}.
Com C_1=1 e x=0,
y'(0) = C_2\cdot 1 + (1 + C_2\cdot 0)\,2\cdot 1 = C_2 + 2.
Como y'(0)=-1, segue
C_2 + 2 = -1 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = -3.

Passo 7

Substituindo C_1=1 e C_2=-3 na solução geral
y(x) = (C_1 + C_2\,x)e^{2x}
resulta em
y(x) = \bigl(1 - 3x\bigr)\,e^{2x}.

Resposta

y(x) = (1 - 3x)\,e^{2x}.

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