Seja Z uma variável aleatória normal padrão. Calcule:
\mathbf{P}\{Z \leq 1.35\}

Passo 1

O enunciado dá que Z é uma variável aleatória normal padrão e pede a probabilidade
\mathbf{P}\{Z \leq 1{,}35\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Z tem distribuição normal padrão, ou seja \mathcal{N}(0,1).
  • Queremos a função de distribuição acumulada (CDF) de Z avaliada em 1{,}35: \Phi(1{,}35)=\mathbf{P}(Z\le 1{,}35).

Passo 2

O que significa \mathbf{P}\{Z\le 1{,}35\}?
  • A função densidade da normal padrão é
\varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^{2}/2},
onde z é o valor da variável padronizada. Aqui \varphi(z) dá a “altura” da curva no ponto z.
  • A função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão é
\Phi(z)=\int_{-\infty}^{z}\varphi(t)\,dt,
que representa a área sob a curva da densidade desde -\infty até z. Portanto \Phi(1{,}35)=\mathbf{P}(Z\le 1{,}35) é essa área.

Passo 3

Por que não calculamos a integral diretamente na prova?
  • A integral \int_{-\infty}^{z} \varphi(t)\,dt não tem primitiva elementar simples. Por isso, em provas usamos:
    1. tabelas de valores da função \Phi (tabelas de Normal padrão),
    2. calculadora científica com função de CDF normal, ou
    3. softwares (R, Python, etc.).
  • Também há propriedades úteis: pela simetria da normal, \Phi(-z)=1-\Phi(z) e \mathbf{P}(Z>z)=1-\Phi(z).

Passo 4

Como ler numa tabela de normal padrão (método que você provavelmente usará na prova):
  • As tabelas normalmente mostram \Phi(z) para z positivos em linhas de duas primeiras casas decimais e colunas para a terceira casa decimal. Para z=1{,}35 fazemos:
    • linha para 1{,}3 (primeiras duas casas) e coluna para 0{,}05 (terceira casa).
  • A entrada típica da tabela para z=1{,}35 é \Phi(1{,}35)=0{,}9115.
  • Se você usar calculadora/sistemas, obtém \Phi(1{,}35)\approx 0{,}911494\ldots, que ao arredondar para quatro casas decimais dá 0{,}9115.

Passo 5

Verificação e interpretação rápida:
  • A probabilidade complementar é a cauda à direita: \mathbf{P}(Z>1{,}35)=1-\Phi(1{,}35)\approx 1-0{,}9115=0{,}0885. Isso faz sentido: valores maiores que 1{,}35 são raros (cerca de 8{,}85\% das vezes).
  • Conforto prático: memorize ou saiba usar a tabela/funcão da calculadora em provas; para z entre 1 e 2 valores típicos variam entre 0{,}84 e 0{,}98.

Resposta

0{,}9115

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