Um peso de 0,625 kg distende uma mola em 0,5 m. O peso é solto a partir do repouso de um ponto 0,5 m abaixo da posição de equilíbrio. Supondo que não haja forças de retardamento agindo sobre o sistema e que o peso vibre livre de outras forças externas, responda:
Qual é a velocidade do peso quanto t=3 pi16 s ? Qual o sentido da velocidade nesse instante, ou seja, o peso está subindo ou descendo?
Dica: Obtenha, inicialmente, a função posição x(t) que responde o item (A). Depois tome a derivada da função x(t), que será a função velocidade, para responder o item (B).

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola sem amortecimento nem forças externas, em que um peso de m=0,625 kg estende a mola 0,5 m até a posição de equilíbrio. Precisamos obter a equação de movimento do MHS e, a partir dela, a função posição x(t) (medida a partir da posição de equilíbrio, positiva para baixo), depois derivar para achar a velocidade v(t) e, por fim, avaliar vl(tfrac3pi16r) e seu sentido.

Passo 2

Em equilíbrio temos o peso equilibrado pela força elástica:
mg = k,De<a x
onde De<a x = 0,5 m. Logo
k = m,g0,5 = 0,625cdot 9,80,5 = 12,25 N/m
A frequência angular do sistema é
omega = raizkm = raiz12,250,625 = raiz19,6 = 4,427 s^-1

Passo 3

A equação de movimento do MHS é
x'' + omega^2,x = 0
A solução geral é
x(t) = Acos(omega t) + Bsin(omega t)
Como o peso é solto do repouso em x(0)=0,5 m e v(0)=x'(0)=0, temos
A = x(0) = 0,5, B = 0
Portanto
x(t) = 0,5cos(omega t)

Passo 4

A velocidade é a derivada de x(t):
v(t) = x'(t) = -0,5,omega,sin(omega t) = -0,5cdot 4,427;sin(4,427,t) = -2,2135;sin(4,427,t)(m/s)

Passo 5

Avaliaremos v(t) em t=tfrac3pi16:
4,427;3pi16 = 2,607 rad, sin(2,607)approx 0,512
Logo
v!l(tfrac3pi16r) = -2,2135cdot 0,512 approx -1,13 m/s
O sinal negativo, lembrando que tomamos x>0 para baixo, indica que o peso está subindo nesse instante.

Resposta

v!l(tfrac3pi16r)approx -1,13 m/s,
ou seja, o peso está subindo.

Exercícios relacionados