Resolva as equações homogêneas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Essa é uma equação diferencial homogênea, o que significa que podemos usar uma substituição para simplificar e resolver. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações homogêneas e substituições que facilitam a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir
. Isso significa que
. Agora, precisamos expressar
em termos de
e
. Usando a regra do produto, temos:
Passo 3
Vamos substituir
e
na equação original:
Simplificando os termos, podemos cancelar o
no numerador e denominador:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Para simplificar o lado direito, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
Então, temos:
Passo 5
Essa equação é separável, ou seja, podemos separar as variáveis
e
de cada lado da equação:
Simplificando o denominador:
Então, a equação fica:
Ou seja:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo pode ser simplificada dividindo o numerador:
Integrando termo a termo:
O lado direito da equação é uma integral simples:
Passo 7
Colocando tudo junto, temos:
Agora, substituímos
de volta na equação:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: