Resolva as equações homogêneas:
y^prime=2 y-xy+4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: y' = 2y - xy + 4x . Essa é uma equação diferencial homogênea, o que significa que podemos usar uma substituição para simplificar e resolver. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações homogêneas e substituições que facilitam a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir v = yx . Isso significa que y = v cdot x . Agora, precisamos expressar y' em termos de v e x . Usando a regra do produto, temos:
y' = v + x cdot v'

Passo 3

Vamos substituir y e y' na equação original:
v + x cdot v' = 2(vx) - xvx + 4x = 2v x - xx(v + 4)
Simplificando os termos, podemos cancelar o x no numerador e denominador:
v + x cdot v' = 2v - 1v + 4

Passo 4

Agora, isolamos v' :
x cdot v' = 2v - 1v + 4 - v
Para simplificar o lado direito, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
2v - 1 - v(v + 4)v + 4 = 2v - 1 - v^2 - 4vv + 4 = -v^2 - 2v - 1v + 4
Então, temos:
v' = -v^2 - 2v - 1x(v + 4)

Passo 5

Essa equação é separável, ou seja, podemos separar as variáveis v e x de cada lado da equação:
v + 4-v^2 - 2v - 1 dv = 1x dx
Simplificando o denominador:
-v^2 - 2v - 1 = -(v^2 + 2v + 1) = -(v + 1)^2
Então, a equação fica:
v + 4-(v + 1)^2 dv = 1x dx
Ou seja:
- v + 4(v + 1)^2 dv = 1x dx

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo pode ser simplificada dividindo o numerador:
- integral v + 4(v + 1)^2 dv = - integral ( v + 1 + 3(v + 1)^2 ) dv = - integral ( 1v + 1 + 3(v + 1)^2 ) dv
Integrando termo a termo:
- ( ln|v + 1| - 3v + 1 ) + C
O lado direito da equação é uma integral simples:
integral 1x dx = ln|x| + C

Passo 7

Colocando tudo junto, temos:
- ln|v + 1| + 3v + 1 = ln|x| + C
Agora, substituímos v = yx de volta na equação:
- ln|yx + 1| + 3yx + 1 = ln|x| + C
Simplificando:
- ln|y + xx| + 3xy + x = ln|x| + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
- ln(y + xx) + 3xy + x = ln|x| + C

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