Um revendedor de componentes elétricos os compra em lotes de 10 peças. Seu controle de qualidade consiste em inspecionar 3 componentes selecionados aleatoriamente de um lote e aceitar o lote somente se os três componentes não são defeituosos. Sabe-se que 30 % dos lotes têm 4 componentes defeituosos e 70 % têm apenas 1 componente defeituoso. Dos três componentes selecionados de um lote, seja X o número de componentes defeituosos:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está nos contando. Temos um revendedor que compra componentes elétricos em lotes de 10 peças. Para garantir a qualidade, ele inspeciona 3 componentes escolhidos aleatoriamente de cada lote. O lote é aprovado somente se os três componentes inspecionados não forem defeituosos.
Sabemos que:
  • 30% dos lotes têm 4 componentes defeituosos.
  • 70% dos lotes têm apenas 1 componente defeituoso.
Queremos analisar a variável X, que representa o número de componentes defeituosos entre os 3 selecionados.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade combinatória, especialmente o coeficiente binomial, que nos ajuda a calcular as diferentes combinações de seleção de peças defeituosas e não defeituosas.

Passo 2

Vamos começar calculando a probabilidade de selecionar um lote que tem 4 componentes defeituosos e outro que tem 1 componente defeituoso.
  • Probabilidade do lote ter 4 defeituosos (P1): 30% ou 0,3.
  • Probabilidade do lote ter 1 defeituoso (P2): 70% ou 0,7.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de não encontrar nenhum defeituoso nos 3 componentes inspecionados para cada tipo de lote.
a) Para lotes com 4 defeituosos:
  • Total de componentes: 10
  • Defeituosos: 4
  • Não defeituosos: 6
Queremos selecionar 3 componentes que não são defeituosos. A fórmula para isso é:
P(X=0|Lote com 4 defeituosos) = binom63binom103
Calculando:
binom63 = 6!3!(6-3)! = 20
binom103 = 10!3!(10-3)! = 120
P(X=0|4 defeituosos) = 20120 = 16 approx 0,1667
b) Para lotes com 1 defeituoso:
  • Total de componentes: 10
  • Defeituosos: 1
  • Não defeituosos: 9
A probabilidade de selecionar 3 componentes sem defeitos é:
P(X=0|Lote com 1 defeituoso) = binom93binom103
Calculando:
binom93 = 9!3!(9-3)! = 84
binom103 = 120
P(X=0|1 defeituoso) = 84120 = 710 = 0,7

Passo 4

Agora, vamos usar a Lei da Probabilidade Total para encontrar a probabilidade total de o lote ser aceito, ou seja, a probabilidade de nenhum dos 3 componentes inspecionados ser defeituoso. Isso leva em conta os dois tipos de lotes que temos.
A fórmula fica assim:
P(X=0) = P(X=0|4 defeituosos) times P1 + P(X=0|1 defeituoso) times P2
Substituindo os valores que calculamos:
P(X=0) = (16) times 0,3 + 0,7 times 0,7
P(X=0) = 0,1667 times 0,3 + 0,7 times 0,7
P(X=0) = 0,05 + 0,49 = 0,54

Resposta

A probabilidade de o lote ser aceito (nenhum dos 3 componentes inspecionados ser defeituoso) é 54%.

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