Um revendedor de componentes elétricos os compra em lotes de 10 peças. Seu controle de qualidade consiste em inspecionar 3 componentes selecionados aleatoriamente de um lote e aceitar o lote somente se os três componentes não são defeituosos. Sabe-se que
dos lotes têm 4 componentes defeituosos e
têm apenas 1 componente defeituoso. Dos três componentes selecionados de um lote, seja
o número de componentes defeituosos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está nos contando. Temos um revendedor que compra componentes elétricos em lotes de 10 peças. Para garantir a qualidade, ele inspeciona 3 componentes escolhidos aleatoriamente de cada lote. O lote é aprovado somente se os três componentes inspecionados não forem defeituosos.
Sabemos que:
- 30% dos lotes têm 4 componentes defeituosos.
- 70% dos lotes têm apenas 1 componente defeituoso.
Queremos analisar a variável X, que representa o número de componentes defeituosos entre os 3 selecionados.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade combinatória, especialmente o coeficiente binomial, que nos ajuda a calcular as diferentes combinações de seleção de peças defeituosas e não defeituosas.
Passo 2
Vamos começar calculando a probabilidade de selecionar um lote que tem 4 componentes defeituosos e outro que tem 1 componente defeituoso.
- Probabilidade do lote ter 4 defeituosos (P1): 30% ou 0,3.
- Probabilidade do lote ter 1 defeituoso (P2): 70% ou 0,7.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de não encontrar nenhum defeituoso nos 3 componentes inspecionados para cada tipo de lote.
a) Para lotes com 4 defeituosos:
- Total de componentes: 10
- Defeituosos: 4
- Não defeituosos: 6
Queremos selecionar 3 componentes que não são defeituosos. A fórmula para isso é:
Calculando:
b) Para lotes com 1 defeituoso:
- Total de componentes: 10
- Defeituosos: 1
- Não defeituosos: 9
A probabilidade de selecionar 3 componentes sem defeitos é:
Calculando:
Passo 4
Agora, vamos usar a Lei da Probabilidade Total para encontrar a probabilidade total de o lote ser aceito, ou seja, a probabilidade de nenhum dos 3 componentes inspecionados ser defeituoso. Isso leva em conta os dois tipos de lotes que temos.
A fórmula fica assim:
Substituindo os valores que calculamos:
Resposta
A probabilidade de o lote ser aceito (nenhum dos 3 componentes inspecionados ser defeituoso) é 54%.