Um peso de 2 kg atado a uma mola provoca uma distensão de 9,8 cm na mesma. A massa é solta de uma posição 2 / 3 m acima da posição de equilíbrio com uma velocidade de 5 m / s para baixo.
c) Quantas vibrações completas o peso terá completado ao final de 3 pi segundos?

Passo 1

O enunciado descreve um Movimento Harmônico Simples (MHS): uma massa de 2 kg presa a uma mola que se distende 9,8 cm em equilíbrio. A massa é solta 2/3 m acima da posição de equilíbrio com velocidade inicial de 5 m/s para baixo. Vamos precisar da constante da mola k, da frequência angular ω, da equação do movimento para achar o período T e então o número de vibrações em 3π s.

Passo 2

Na posição de equilíbrio, a força peso é equilibrada pela força elástica: mg = k {x₀}, onde m=2 kg, g=9,8 m/s² e x₀=0,098 m. Assim obtemos k:
k = mgx₀ = 2cdot9,80,098 = 200 N/m

Passo 3

A frequência angular do MHS é dada por omega = raiztfrackm. Então:
omega = raiz2002 = 10 rad/s

Passo 4

Escrevemos a solução geral x(t)=Acos(omega t)+Bsin(omega t), adotando o eixo positivo para baixo. As condições iniciais em t=0 são: x(0)=-tfrac23 m (2/3 m acima do equilíbrio) e v(0)=5 m/s para baixo. Temos então A = -tfrac23 e
v(0)=B,omega = 5 Rightarrow B = 510=tfrac12\ A amplitude não é necessária aqui, mas confirma-se que o MHS está bem definido.

Passo 5

O período do movimento é
T = 2piomega = 2pi10 = pi5 s

Passo 6

O número de vibrações completas em um intervalo Δt = 3π s é
N = De
portanto, completam-se 15 vibrações.

Resposta

15

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