O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino de uma universidade é 75,0 \mathrm{~kg} e o desvio padrão 5,0 \mathrm{~kg}. Admitindo-se que os pesos estão normalmente distribuídos e que as medidas foram realizadas com uma balança que registrou valores na escala de centésimos de quilogramas, determine:
(a) quantos estudantes pesam entre 65,0 e 80,0 \mathrm{~kg};
(b) quantos estudantes pesam mais do que 82,0 \mathrm{~kg};
(c) quantos estudantes pesam exatamente 75 kg ;
(d) qual o primeiro quartil do peso dos estudantes, ou seja, qual o valor tal que divide os 500 estudantes em 25 \% abaixo e 75 \% acima.

Passo 1

Temos uma amostra de n=500 estudantes com peso normalmente distribuído com média \mu=75{,}0\;\mathrm{kg} e desvio padrão \sigma=5{,}0\;\mathrm{kg}. A balança mede com resolução de centésimos de quilograma. Precisamos determinar:
(a) quantos pesam entre 65{,}0 e 80{,}0,kg;
(b) quantos pesam mais que 82{,}0,kg;
(c) quantos pesam exatamente 75{,}0,kg usando a discretização a centésimos;
(d) o primeiro quartil, isto é o valor Q_1 tal que 25\% estão abaixo de Q_1. Para isso, vamos usar a distribuição normal padrão, calcular escores z e usar a função de distribuição acumulada \Phi.

Passo 2

Para (a), calculemos os escores:
z_1 = \frac{65{,}0 - 75{,}0}{5{,}0} = -2,\quad z_2 = \frac{80{,}0 - 75{,}0}{5{,}0} = 1.
A probabilidade de estar entre 65{,}0 e 80{,}0 é
P(65{,}0 \le X \le 80{,}0) = \Phi(1) - \Phi(-2) = 0,8413 - 0,0228 = 0,8185.
Multiplicando por 500 obtém-se
500 \times 0,8185 = 409{,}25\approx 409
estudantes.

Passo 3

Para (b), o escore para 82{,}0,kg é
z = \frac{82{,}0 - 75{,}0}{5{,}0} = 1,4.
Assim,
P(X > 82{,}0) = 1 - \Phi(1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808,
e
500 \times 0,0808 = 40{,}4 \approx 40
estudantes.

Passo 4

Para (c), como o peso é medido com passo de 0,01,kg, a probabilidade de exatamente 75{,}0,kg é
P(74{,}995 \le X < 75{,}005) = \Phi\Bigl(\frac{75{,}005-75{,}0}{5{,}0}\Bigr) - \Phi\Bigl(\frac{74{,}995-75{,}0}{5{,}0}\Bigr).
Aqui \Delta z = 0,001, e para z\approx0, \Phi(z)\approx0,5 + \varphi(0)\,z com \varphi(0)=1/\sqrt{2\pi}\approx0,39894, dando
P \approx 2 \times 0,39894 \times 0,001 = 0,0007979,
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500 \times 0,0007979 \approx 0{,}4 \approx 0
estudantes (praticamente nenhum).

Passo 5

Para (d), o primeiro quartil Q_1 satisfaz P(X \le Q_1)=0,25. O escore correspondente é
z_{0,25} = \Phi^{-1}(0,25)\approx -0,6745.
Portanto
Q_1 = \mu + z_{0,25}\,\sigma = 75{,}0 + (-0,6745)\times 5{,}0 = 71{,}6275\;\mathrm{kg}.
Arredondando à centésima, Q_1\approx71{,}63,kg.

Resposta

(a) 409
(b) 40
(c) 0
(d) 71{,}63,kg

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