Sabendo-se que a probabilidade de um estudante obter aprovação em certo teste de estatística é igual a 0,90 e considerando um grupo de 6 estudantes, determine a probabilidade de que:
No máximo dois sejam aprovados.

Passo 1

O enunciado diz que a probabilidade de um estudante ser aprovado é 0,90 e que temos um grupo de 6 estudantes independentes. Definimos a variável aleatória X como o número de estudantes aprovados. Como cada estudante tem a mesma probabilidade de aprovação e as provas são independentes, temos
X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=6,\;p=0,90\bigr).

Passo 2

Queremos a probabilidade de que, em até 2 aprovações, ou seja,
P(X \le 2).
Pela definição de distribuição binomial,
P(X = k) \;=\; \binom{6}{k}\,(0,90)^{k}\,(0,10)^{6-k}.

Passo 3

Portanto
P(X \le 2) = \sum_{k=0}^{2} \binom{6}{k}\,(0,90)^{k}\,(0,10)^{6-k} = \binom{6}{0}(0,90)^{0}(0,10)^{6} + \binom{6}{1}(0,90)^{1}(0,10)^{5} + \binom{6}{2}(0,90)^{2}(0,10)^{4}.

Passo 4

Calcular cada termo:
\binom{6}{0}(0,10)^{6} = 1 \times (0,10)^{6} = 0,10^{6} = 1\times 10^{-6},
\binom{6}{1}(0,90)(0,10)^{5} = 6 \times 0,90 \times 0,10^{5} = 6 \times 0,90 \times 10^{-5} = 5{,}4\times 10^{-5},
\binom{6}{2}(0,90)^{2}(0,10)^{4} = 15 \times 0,90^{2} \times 0,10^{4} = 15 \times 0,81 \times 10^{-4} = 0{,}001215.
Somando:
P(X \le 2) = 1\times10^{-6} + 5{,}4\times10^{-5} + 0{,}001215 \approx 0{,}0012704.

Resposta

A probabilidade de que no máximo dois sejam aprovados é aproximadamente 0{,}00127.

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