8- Use eliminação sistemática para resolver o sistema massa-mola acoplado abaixo, quando k_{1}=4, k_{2}=2, m_{1}=2 \mathrm{e} m_{2}=1 \mathrm{e} com condições iniciais x_{1}(0)=2, x_{1}{ }^{\prime}(0)=1, x_{2}(0)=-1 e x_{2}{ }^{\prime}(0)=1.
\begin{aligned} & m_{1} x_{1}^{\prime \prime}=-k_{1} x_{1}+k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) \\\ & m_{2} x_{2}^{\prime \prime}=-k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá o sistema massa-mola acoplado
\begin{cases} m_{1} x_{1}''=-k_{1} x_{1}+k_{2}(x_{2}-x_{1}),\\\ m_{2} x_{2}''=-k_{2}(x_{2}-x_{1}), \end{cases}
com k_{1}=4, k_{2}=2, m_{1}=2, m_{2}=1 e condições iniciais
x_{1}(0)=2,\quad x_{1}'(0)=1,\quad x_{2}(0)=-1,\quad x_{2}'(0)=1.
O objetivo é usar eliminação sistemática para obter uma única equação em x_{1}, resolver e depois achar x_{2}.

Passo 2

Substituindo os valores numéricos em cada equação do sistema, temos
2\,x_{1}''=-4\,x_{1}+2\,(x_{2}-x_{1}),\qquad x_{2}''=-2\,(x_{2}-x_{1}).
Reescrevendo:
2\,x_{1}''=-6\,x_{1}+2\,x_{2} \quad\Longrightarrow\quad x_{1}''=-3\,x_{1}+x_{2},
x_{2}''=2\,x_{1}-2\,x_{2}.

Passo 3

Da primeira equação isolamos x_{2}:
x_{2}=x_{1}''+3\,x_{1}.
Agora diferenciamos duas vezes para achar x_{2}'':
x_{2}''=x_{1}''''+3\,x_{1}''.

Passo 4

Substituímos essa expressão em x_{2}''=2\,x_{1}-2\,x_{2}:
x_{1}''''+3\,x_{1}''=2\,x_{1}-2\,(x_{1}''+3\,x_{1}) \;\Longrightarrow\; x_{1}''''+3\,x_{1}''=-2\,x_{1}''-4\,x_{1}.
Reagrupando, vem a ODE de quarta ordem
x_{1}''''+5\,x_{1}''+4\,x_{1}=0.

Passo 5

A equação característica é
r^{4}+5\,r^{2}+4=0,
que se fatora em (r^{2}+4)(r^{2}+1)=0. Logo os raízes são r=\pm2\,\mathrm{i} e r=\pm\mathrm{i}. Isso dá a solução geral
x_{1}(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t)+C\cos(t)+D\sin(t).

Passo 6

Voltemos a x_{2}=x_{1}''+3x_{1}. Calculando x_{1}'' e somando a 3x_{1}, obtém-se
x_{2}(t)=-A\cos(2t)-B\sin(2t)+2C\cos(t)+2D\sin(t).

Passo 7

Agora usamos as condições iniciais para achar A,B,C,D. Em t=0:
x_{1}(0)=A+C=2,\quad x_{1}'(0)=2B+D=1,
x_{2}(0)=-A+2C=-1,\quad x_{2}'(0)=-2B+2D=1.
Resolvendo esse sistema linear dá
A=\tfrac{5}{3},\quad B=\tfrac{1}{6},\quad C=\tfrac{1}{3},\quad D=\tfrac{2}{3}.

Passo 8

Substituindo os valores de A,B,C,D nas fórmulas gerais, concluímos:
x_{1}(t) =\frac{5}{3}\cos(2t)+\frac{1}{6}\sin(2t) +\frac{1}{3}\cos(t)+\frac{2}{3}\sin(t),
x_{2}(t) =-\frac{5}{3}\cos(2t)-\frac{1}{6}\sin(2t) +\frac{2}{3}\cos(t)+\frac{4}{3}\sin(t).

Resposta

x_{1}(t) =\frac{5}{3}\cos(2t)+\frac{1}{6}\sin(2t) +\frac{1}{3}\cos(t)+\frac{2}{3}\sin(t),
x_{2}(t) =-\frac{5}{3}\cos(2t)-\frac{1}{6}\sin(2t) +\frac{2}{3}\cos(t)+\frac{4}{3}\sin(t).

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