8- Use eliminação sistemática para resolver o sistema massa-mola acoplado abaixo, quando
com condições iniciais
e
.
Passo 1
O enunciado dá o sistema massa-mola acoplado
com
,
,
,
e condições iniciais
O objetivo é usar eliminação sistemática para obter uma única equação em
, resolver e depois achar
.
Passo 2
Substituindo os valores numéricos em cada equação do sistema, temos
Reescrevendo:
Passo 3
Da primeira equação isolamos
:
Agora diferenciamos duas vezes para achar
:
Passo 4
Substituímos essa expressão em
:
Reagrupando, vem a ODE de quarta ordem
Passo 5
A equação característica é
que se fatora em
. Logo os raízes são
e
. Isso dá a solução geral
Passo 6
Voltemos a
. Calculando
e somando a
, obtém-se
Passo 7
Agora usamos as condições iniciais para achar
. Em
:
Resolvendo esse sistema linear dá
Passo 8
Substituindo os valores de
nas fórmulas gerais, concluímos: