O peso dos peixes de um tanque distribui-se normalmente com média 800 g e desvio padrão 100 g . Num lote de 200 peixes quantos pesarão:
Determine o peso do peixe de forma que apenas 10 % dos demais sejam mais pesados que ele.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o peso dos peixes em um tanque que segue uma distribuição normal, ou seja, os pesos estão distribuídos de forma que a maioria fica próxima da média, com poucos muito leves ou muito pesados. Aqui, a média é 800 gramas e o desvio padrão é 100 gramas. A questão quer saber qual o peso que separa os 10% mais pesados dos peixes em um lote de 200 peixes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e percentis.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que queremos encontrar o peso pelo qual apenas 10% dos peixes são mais pesados. Isso significa que estamos procurando o 90º percentil da distribuição normal, pois 90% dos peixes serão iguais ou menos pesados que esse valor.

Passo 3

Para encontrar esse percentil, usamos a fórmula de padronização da distribuição normal:
Z = X - musigma
Onde:
  • $ Z $ é o valor padronizado,
  • $ X $ é o valor que queremos encontrar,
  • $ \mu $ é a média (800 g),
  • $ \sigma $ é o desvio padrão (100 g).
Queremos encontrar $ X $ tal que $ P(X \leq x) = 0,90 $.

Passo 4

Consultando uma tabela de distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos o valor de $ Z $ que corresponde a 0,90 de área à esquerda. Esse valor é aproximadamente $ Z = 1,28 $.

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula para encontrar $ X $:
X
Resolvendo para $ X $:
1,28 = X - 800100

Resposta

Portanto, o peso do peixe que separa os 10% mais pesados é 928 gramas.

Exercícios relacionados