O peso dos peixes de um tanque distribui-se normalmente com média 800 g e desvio padrão 100 g . Num lote de 200 peixes quantos pesarão:
Determine o peso do peixe de forma que apenas
dos demais sejam mais pesados que ele.
Determine o peso do peixe de forma que apenas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o peso dos peixes em um tanque que segue uma distribuição normal, ou seja, os pesos estão distribuídos de forma que a maioria fica próxima da média, com poucos muito leves ou muito pesados. Aqui, a média é 800 gramas e o desvio padrão é 100 gramas. A questão quer saber qual o peso que separa os 10% mais pesados dos peixes em um lote de 200 peixes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e percentis.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que queremos encontrar o peso pelo qual apenas 10% dos peixes são mais pesados. Isso significa que estamos procurando o 90º percentil da distribuição normal, pois 90% dos peixes serão iguais ou menos pesados que esse valor.
Passo 3
Para encontrar esse percentil, usamos a fórmula de padronização da distribuição normal:
Onde:
- $ Z $ é o valor padronizado,
- $ X $ é o valor que queremos encontrar,
- $ \mu $ é a média (800 g),
- $ \sigma $ é o desvio padrão (100 g).
Queremos encontrar $ X $ tal que $ P(X \leq x) = 0,90 $.
Passo 4
Consultando uma tabela de distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos o valor de $ Z $ que corresponde a 0,90 de área à esquerda. Esse valor é aproximadamente $ Z = 1,28 $.
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula para encontrar $ X $:
Resolvendo para $ X $:
Resposta
Portanto, o peso do peixe que separa os 10% mais pesados é 928 gramas.