A vida útil de baterias de carros é, em média, 2,5 anos. Por outro lado, há forte dependência dos componentes utilizados na produção dessa baterias, por isso é mais realista considerar que a vida útil tem distribuição Weibull do que, por exemplo, exponencial. Sabe-se que um dado fabricante produz baterias cuja distribuição dos tempos de vida tem parâmetro de forma
e que uma dessas baterias em particular já durou 2,8 anos. Determine o risco de falha. Use o fato de que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a vida útil de baterias de carro, que em média dura 2,5 anos. Porém, em vez de usar uma distribuição simples como a exponencial, vamos usar a distribuição Weibull, que é mais adequada quando a durabilidade depende de vários componentes. O fabricante específico usa uma distribuição Weibull com parâmetro de forma
. A questão nos diz que uma bateria já durou 2,8 anos e pede para calcular o risco de falha dessa bateria. Para resolver isso, vamos precisar entender a distribuição Weibull e como calcular a probabilidade de falha baseada no tempo já decorrido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição Weibull. Ela é usada para modelar o tempo até a falha de um produto. A função de densidade de probabilidade (PDF) da Weibull é dada por:
Onde:
-
é o parâmetro de forma. -
é o parâmetro de escala.
Sabemos que
, mas ainda precisamos encontrar
.
Passo 3
Para encontrar
, usamos a informação da média da vida útil, que é 2,5 anos. A média da distribuição Weibull é dada por:
Substituindo
e
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, resolvemos para
:
Passo 5
Com
conhecida, vamos calcular o risco de falha após 2,8 anos. Esse risco pode ser interpretado como a probabilidade de a bateria falhar após já ter durado 2,8 anos, ou seja, a probabilidade condicional
, onde
anos.
A função de sobrevivência da Weibull é:
A probabilidade condicional é dada por:
Passo 6
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então:
Resposta
O risco de falha da bateria após já ter durado 2,8 anos é de aproximadamente 62,7 %.