A vida útil de baterias de carros é, em média, 2,5 anos. Por outro lado, há forte dependência dos componentes utilizados na produção dessa baterias, por isso é mais realista considerar que a vida útil tem distribuição Weibull do que, por exemplo, exponencial. Sabe-se que um dado fabricante produz baterias cuja distribuição dos tempos de vida tem parâmetro de forma theta=2 e que uma dessas baterias em particular já durou 2,8 anos. Determine o risco de falha. Use o fato de que Gamma(1 / 2)=raizpi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a vida útil de baterias de carro, que em média dura 2,5 anos. Porém, em vez de usar uma distribuição simples como a exponencial, vamos usar a distribuição Weibull, que é mais adequada quando a durabilidade depende de vários componentes. O fabricante específico usa uma distribuição Weibull com parâmetro de forma theta = 2. A questão nos diz que uma bateria já durou 2,8 anos e pede para calcular o risco de falha dessa bateria. Para resolver isso, vamos precisar entender a distribuição Weibull e como calcular a probabilidade de falha baseada no tempo já decorrido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição Weibull. Ela é usada para modelar o tempo até a falha de um produto. A função de densidade de probabilidade (PDF) da Weibull é dada por:
f(t) = thetaeta (teta)^theta - 1 e^-(t/eta)^theta
Onde:
  • theta é o parâmetro de forma.
  • eta é o parâmetro de escala.
Sabemos que theta = 2, mas ainda precisamos encontrar eta.

Passo 3

Para encontrar eta, usamos a informação da média da vida útil, que é 2,5 anos. A média da distribuição Weibull é dada por:
Média = eta Gamma(1 + 1theta) é
Substituindo theta = 2 e Gamma(12) = raizpi:
2,5 = eta Gamma(1 + 12) = eta Gamma(32)
Sabemos que Gamma(32) = raizpi2, então:
2,5 = eta cdot raizpi2

Passo 4

Agora, resolvemos para eta:
eta = 2,5 times 2raizpi = 5raizpi

Passo 5

Com eta conhecida, vamos calcular o risco de falha após 2,8 anos. Esse risco pode ser interpretado como a probabilidade de a bateria falhar após já ter durado 2,8 anos, ou seja, a probabilidade condicional P(T <= t ,|, T > t0), onde t0 = 2,8 anos.
A função de sobrevivência da Weibull é:
S(t) = e^-(t/eta)^theta
A probabilidade condicional é dada por:
P(T <= t ,|, T > t0) = 1 - e^-((t0)/eta)^theta

Passo 6

Substituindo os valores:
P(T <= 2,8 ,|, T > 2,8) = 1 - e^-((2,8)/(5raizpi))^2
Simplificando:
2,85raizpi = 2,8 raizpi5 approx 2,8 times 1,7725 approx 4,96165 approx 0,9923
Então:
P(T <= 2,8 ,|, T > 2,8) = 1 - e^-(0,9923)^2 approx 1 - e^-0,9847 approx 1 - 0,373 approx 0,627

Resposta

O risco de falha da bateria após já ter durado 2,8 anos é de aproximadamente 62,7 %.

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