Em uma pesquisa, 40 \% das pessoas entrevistadas são mulheres e 60 \% são homens. Sabe-se que 20 \% das mulheres e 30 \% dos homens fumam. Se uma pessoa fumante é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser mulher?

Passo 1

O enunciado pede: “Se uma pessoa fumante é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser mulher?”\n
Informações dadas (todas aqui estão em porcentagem no enunciado, vou anotar como probabilidades):
P(\text{Mulher})=0,4
P(\text{Homem})=0,6
P(\text{Fumante}\mid \text{Mulher})=0,2
P(\text{Fumante}\mid \text{Homem})=0,3
Onde P(A) significa “probabilidade de A ocorrer” e P(B\mid A) significa “probabilidade de B dado que A ocorreu”. A pergunta quer P(\text{Mulher}\mid \text{Fumante}).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicadinho): para achar a probabilidade de um evento A dado B (aqui A= “ser mulher” e B= “ser fumante”), usamos a fórmula de Bayes:
P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}.
Explicando cada parte:
  • P(B\mid A) é a probabilidade de ser fumante entre as mulheres (já dada).
  • P(A) é a proporção de mulheres na população (já dada).
  • P(B) é a probabilidade total de uma pessoa ser fumante (precisamos calcular): isto soma a contribuição das mulheres e a dos homens — isto é a chamada regra da probabilidade total.

Passo 3

Definimos notação curta e colocamos os números (tudo em TeX):
M=\text{Mulher},\quad H=\text{Homem},\quad F=\text{Fumante}.
As probabilidades dadas:
P(M)=0,4,\quad P(H)=0,6,
P(F\mid M)=0,2,\quad P(F\mid H)=0,3.

Passo 4

Calcular P(F) pela regra da probabilidade total:
P(F)=P(F\mid M)P(M)+P(F\mid H)P(H).
Substituindo os números:
P(F)=0,2\cdot0,4 + 0,3\cdot0,6.
Agora faço as multiplicações passo a passo:
0,2\cdot0,4=0,08,
0,3\cdot0,6=0,18.
Somando:
P(F)=0,08+0,18=0,26.
Interpretação: 26\% da população total é fumante.

Passo 5

Aplicar a fórmula de Bayes para obter P(M\mid F):
P(M\mid F)=\frac{P(F\mid M)P(M)}{P(F)}.
Substituindo os valores:
P(M\mid F)=\frac{0,2\cdot0,4}{0,26}=\frac{0,08}{0,26}.
Simplificando a fração:
\frac{0,08}{0,26}=\frac{8}{26}=\frac{4}{13}.
Convertendo para decimal e porcentagem (para interpretação mais direta):
\frac{4}{13}\approx 0,307692\approx 30,77\%.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: isso significa que, entre todas as pessoas fumantes, cerca de 30,77\% são mulheres — pouco menos de um terço. Foi só aplicar a regra da probabilidade total para achar a proporção de fumantes na população e depois usar Bayes para inverter a condição. Você mandou bem procurando entender passo a passo — respira fundo, isso aparece direto na prova se fizer assim.

Resposta

\dfrac{4}{13}
30,77\%

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