Em uma pesquisa,
das pessoas entrevistadas são mulheres e
são homens. Sabe-se que
das mulheres e
dos homens fumam. Se uma pessoa fumante é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser mulher?
Passo 1
O enunciado pede: “Se uma pessoa fumante é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser mulher?”\n
Informações dadas (todas aqui estão em porcentagem no enunciado, vou anotar como probabilidades):
Informações dadas (todas aqui estão em porcentagem no enunciado, vou anotar como probabilidades):
Onde
significa “probabilidade de
ocorrer” e
significa “probabilidade de
dado que
ocorreu”. A pergunta quer
.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicadinho): para achar a probabilidade de um evento
dado
(aqui
“ser mulher” e
“ser fumante”), usamos a fórmula de Bayes:
Explicando cada parte:
-
é a probabilidade de ser fumante entre as mulheres (já dada). -
é a proporção de mulheres na população (já dada). -
é a probabilidade total de uma pessoa ser fumante (precisamos calcular): isto soma a contribuição das mulheres e a dos homens — isto é a chamada regra da probabilidade total.
Passo 3
Definimos notação curta e colocamos os números (tudo em TeX):
As probabilidades dadas:
Passo 4
Calcular
pela regra da probabilidade total:
Substituindo os números:
Agora faço as multiplicações passo a passo:
Somando:
Interpretação:
da população total é fumante.
Passo 5
Aplicar a fórmula de Bayes para obter
:
Substituindo os valores:
Simplificando a fração:
Convertendo para decimal e porcentagem (para interpretação mais direta):
Passo 6
Interpretação final e incentivo: isso significa que, entre todas as pessoas fumantes, cerca de
são mulheres — pouco menos de um terço. Foi só aplicar a regra da probabilidade total para achar a proporção de fumantes na população e depois usar Bayes para inverter a condição. Você mandou bem procurando entender passo a passo — respira fundo, isso aparece direto na prova se fizer assim.