De quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em volta de uma mesa redonda?
Passo 1
O enunciado pergunta: “De quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em volta de uma mesa redonda?”
Informações dadas e assumidas (tudo que posso usar):
Informações dadas e assumidas (tudo que posso usar):
- Há
pessoas distintas (cada pessoa é diferente das outras). - A mesa é redonda, ou seja, não há lugares numerados ou uma posição fixa marcada; só importa a ordem relativa das pessoas ao redor da mesa.
- O enunciado não fala nada sobre considerar reflexões (espelhar a disposição) como iguais, então vou usar a convenção padrão: disposições que possam ser obtidas umas das outras por rotação são consideradas idênticas (mas uma configuração e sua imagem espelhada são distintas, a menos que o enunciado diga o contrário).
Passo 2
Vamos entender o que muda quando a mesa é redonda em relação a uma fila normal (linear). Se as pessoas estivessem em fila (em cadeiras numeradas da esquerda para a direita), o número de maneiras seria o número de permutações de
objetos, isto é
. Vou explicar o que é isso:
-
(lê-se “seis fatorial”) é o produto . - Isso conta todas as ordens possíveis quando as posições são distintas e identificáveis.
Mas na mesa redonda as posições não são identificáveis: girar todos os ocupantes uma cadeira para a direita dá a mesma disposição. Por isso precisamos corrigir a contagem de
para não contar rotações como diferentes.
Passo 3
Intuição e argumento formal simples para eliminar a contagem por rotações: imagine “fixar” uma pessoa em uma posição de referência (por exemplo, peça para a pessoa A sentar e marcar mentalmente sua cadeira). Feito isso, as outras
pessoas podem se organizar nas cadeiras restantes de qualquer maneira. Como a pessoa fixa quebra a simetria de rotação, cada disposição diferente das outras
agora corresponde a uma disposição circular diferente no conjunto original. Portanto o número de disposições distintas em círculo é o número de permutações das
restantes, ou seja
. Em geral, para
pessoas distintas em volta de uma mesa redonda (considerando rotações iguais), o total é:
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso
: o número procurado é
Agora calculamos
passo a passo (sem usar calculadora):
Calculando em etapas:
Passo 5
Resultado e observação sobre reflexões: com a convenção padrão (rotações consideradas iguais, reflexões distintas), o número final é
. Se o problema tivesse considerado também que disposições que são imagens espelhadas umas das outras são equivalentes (isto é, sem orientação circular), então dividiríamos por
e teríamos
. Como o enunciado não pediu isso, mantemos a convenção padrão e usamos
.
Passo 6
Um exemplo pequeno para fixar a ideia: com
pessoas
em volta de uma mesa, a fórmula dá
. De fato, fixando
, as duas ordens possíveis das outras são
ou
, que correspondem às duas disposições circulares distintas.
Passo 7
Força aí! A ideia-chave para questões desse tipo na prova é: detectar simetrias (aqui, rotações) e “quebrar” a simetria fixando um elemento ou dividindo pela ordem do grupo de simetria. Pratique mais alguns casos (por exemplo
ou
pessoas) para ficar confortável com o raciocínio.