De quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em volta de uma mesa redonda?

Passo 1

O enunciado pergunta: “De quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em volta de uma mesa redonda?”
Informações dadas e assumidas (tudo que posso usar):
  • 6 pessoas distintas (cada pessoa é diferente das outras).
  • A mesa é redonda, ou seja, não há lugares numerados ou uma posição fixa marcada; só importa a ordem relativa das pessoas ao redor da mesa.
  • O enunciado não fala nada sobre considerar reflexões (espelhar a disposição) como iguais, então vou usar a convenção padrão: disposições que possam ser obtidas umas das outras por rotação são consideradas idênticas (mas uma configuração e sua imagem espelhada são distintas, a menos que o enunciado diga o contrário).

Passo 2

Vamos entender o que muda quando a mesa é redonda em relação a uma fila normal (linear). Se as pessoas estivessem em fila (em cadeiras numeradas da esquerda para a direita), o número de maneiras seria o número de permutações de 6 objetos, isto é 6!. Vou explicar o que é isso:
  • 6! (lê-se “seis fatorial”) é o produto 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.
  • Isso conta todas as ordens possíveis quando as posições são distintas e identificáveis.
Mas na mesa redonda as posições não são identificáveis: girar todos os ocupantes uma cadeira para a direita dá a mesma disposição. Por isso precisamos corrigir a contagem de 6! para não contar rotações como diferentes.

Passo 3

Intuição e argumento formal simples para eliminar a contagem por rotações: imagine “fixar” uma pessoa em uma posição de referência (por exemplo, peça para a pessoa A sentar e marcar mentalmente sua cadeira). Feito isso, as outras 5 pessoas podem se organizar nas cadeiras restantes de qualquer maneira. Como a pessoa fixa quebra a simetria de rotação, cada disposição diferente das outras 5 agora corresponde a uma disposição circular diferente no conjunto original. Portanto o número de disposições distintas em círculo é o número de permutações das 5 restantes, ou seja (6-1)!. Em geral, para n pessoas distintas em volta de uma mesa redonda (considerando rotações iguais), o total é:
(n-1)!.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso n=6: o número procurado é
(6-1)! = 5!.
Agora calculamos 5! passo a passo (sem usar calculadora):
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.
Calculando em etapas:
5\cdot4 = 20,
20\cdot3 = 60,
60\cdot2 = 120,
120\cdot1 = 120.

Passo 5

Resultado e observação sobre reflexões: com a convenção padrão (rotações consideradas iguais, reflexões distintas), o número final é 120. Se o problema tivesse considerado também que disposições que são imagens espelhadas umas das outras são equivalentes (isto é, sem orientação circular), então dividiríamos por 2 e teríamos 60. Como o enunciado não pediu isso, mantemos a convenção padrão e usamos 120.

Passo 6

Um exemplo pequeno para fixar a ideia: com 3 pessoas A,B,C em volta de uma mesa, a fórmula dá (3-1)! = 2! = 2. De fato, fixando A, as duas ordens possíveis das outras são B,C ou C,B, que correspondem às duas disposições circulares distintas.

Passo 7

Força aí! A ideia-chave para questões desse tipo na prova é: detectar simetrias (aqui, rotações) e “quebrar” a simetria fixando um elemento ou dividindo pela ordem do grupo de simetria. Pratique mais alguns casos (por exemplo 4 ou 5 pessoas) para ficar confortável com o raciocínio.

Resposta

120

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