Em uma pesquisa eleitoral, 60 das 180 pessoas entrevistadas responderam que votariam no candidato da oposição. Essa amostra é suficiente para estimar a verdadeira proporção de eleitores desse candidato, com uma precisão de 0, 04 e confiança 95 % ?

Passo 1

O enunciado informa que numa amostra de n=180 entrevistados, 60 afirmaram que votariam no candidato da oposição. Queremos saber se essa amostra é suficiente para estimar a proporção verdadeira p com margem de erro E=0,04 e nível de confiança de 95%. Para isso vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para proporção:
E = zalpha/2,raizhat p,(1-hat p)n,
onde hat p é a proporção amostral e zalpha/2 para 95% de confiança vale 1,96.

Passo 2

Calcular a proporção amostral hat p:
hat p = 60180 = 13 approx 0,3333

Passo 3

Calcular a margem de erro obtida pela amostra de tamanho n=180:
Eobs = 1,96 ,raizhat p,(1-hat p)n = 1,96 ,raiztfrac13,l(1-tfrac13r)180 = 1,96 ,raiztfrac29180
Agora,
29cdot 180 = 21620approx 0,0012346, raiz0,0012346approx 0,03512,
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Eobs approx 1,96 times 0,03512 approx 0,0688

Passo 4

Comparando Eobsapprox0,0688 com a precisão desejada E=0,04, vemos que
Eobs>E,
portanto a margem de erro obtida com n=180 é maior do que 0,04. A amostra não é suficiente.

Passo 5

(se quisermos saber o tamanho mínimo necessário)
Usamos
n = zalpha/2^2,hat p,(1-hat p)E^2 = 1,96^2 times tfrac13times tfrac230,04^2 = 3,8416 times tfrac290,0016 approx 533,6
Logo seria preciso napprox534 entrevistados para ter E<=0,04 com 95% de confiança.

Resposta

Não. A margem de erro obtida é aproximadamente 0,0688, maior que 0,04, então a amostra de 180 não é suficiente.

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