Um professor leciona uma mesma disciplina para duas turmas A e B, sendo a turma A com 25 alunos e a turma B com 64. Considere as notas dos alunos das duas turmas variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com valor esperado 74 e desvio padrão 14.
Suponha agora que todos os alunos da turma A e da turma B façam a primeira prova da disciplina. Obtenha a distribuição de probabilidade aproximada para a diferença entre a média aritmética das notas da turma A e a média aritmética das notas dos alunos da turma B nessa prova. (1,0)
Suponha agora que todos os alunos da turma A e da turma B façam a primeira prova da disciplina. Obtenha a distribuição de probabilidade aproximada para a diferença entre a média aritmética das notas da turma A e a média aritmética das notas dos alunos da turma B nessa prova. (1,0)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas turmas, A com 25 alunos e B com 64 alunos. Cada aluno tem uma nota que segue uma distribuição com média (valor esperado) de 74 e desvio padrão de 14. A pergunta quer saber qual é a distribuição da diferença entre as médias das notas das duas turmas após a primeira prova. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre médias de amostras e distribuição de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que quando temos uma amostra de dados, a média dessa amostra também segue uma distribuição, conhecida como distribuição da média amostral. Se a amostra for grande o suficiente, essa distribuição é aproximadamente normal, mesmo que a distribuição original das notas não seja normal. Isso é graças ao Teorema Central do Limite.
Passo 3
Vamos aplicar o Teorema Central do Limite para cada turma. Para a turma A, com 25 alunos, a média das notas (X̄_A) terá:
- Média igual à média da população: μ = 74
- Desvio padrão igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra: σ/√n = 14/√25 = 14/5 = 2,8
Para a turma B, com 64 alunos, a média das notas (X̄_B) terá:
- Média igual à média da população: μ = 74
- Desvio padrão: σ/√n = 14/√64 = 14/8 = 1,75
Passo 4
Agora, queremos a distribuição da diferença entre as médias das duas turmas: (X̄_A - X̄_B). Quando subtraímos duas médias independentes, a nova distribuição também será normal. A média dessa diferença será a diferença das médias individuais, e o desvio padrão será a raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios padrão individuais.
Passo 5
Calculando a média da diferença:
μ_d = μ_A - μ_B = 74 - 74 = 0
μ_d = μ_A - μ_B = 74 - 74 = 0
Calculando o desvio padrão da diferença:
σ_d = √(σ_A² + σ_B²) = √(2,8² + 1,75²) = √(7,84 + 3,0625) = √10,9025 ≈ 3,3
σ_d = √(σ_A² + σ_B²) = √(2,8² + 1,75²) = √(7,84 + 3,0625) = √10,9025 ≈ 3,3
Resposta
A diferença entre as médias das notas das turmas A e B segue aproximadamente uma distribuição normal com média 0 e desvio padrão de aproximadamente 3,3. Em notação matemática: