Uma pesquisa eleitoral foi conduzida para estimar o percentual de votos de um certo candidato na população de eleitores. Dos 1000 entrevistados, 250 declararam voto para o candidato.
Qual deveria ter sido o tamanho de amostra (número de entrevistados) se o interesse do instituto de pesquisa fosse de garantir uma margem de erro de 2 % (para mais ou para menos) no intervalo conservador mantendo os 98 % de confiança? (0,5)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma questão sobre pesquisa eleitoral. Você sabe, aquela pesquisa que a gente faz para estimar quantas pessoas vão votar em um candidato. Aqui, entrevistaram 1000 pessoas e 250 disseram que vão votar no candidato. A pergunta é: qual seria o tamanho ideal da amostra (número de entrevistados) para garantir que a margem de erro seja de 2% para mais ou para menos, com 98% de confiança? Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre estimativas de proporções e margem de erro.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é margem de erro e nível de confiança. A margem de erro indica o quanto a nossa estimativa pode variar para mais ou para menos. Já o nível de confiança mostra a probabilidade de que a verdadeira proporção esteja dentro dessa margem de erro. No nosso caso, queremos uma margem de erro de 2% e um nível de confiança de 98%.

Passo 3

Vamos usar a fórmula para calcular o tamanho da amostra necessária para uma proporção. A fórmula é:
n = ( z^2 cdot p cdot (1 - p)E^2 )
Onde:
  • $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
  • $ z $ é o valor z correspondente ao nível de confiança.
  • $ p $ é a proporção estimada (no caso, a porcentagem de votos para o candidato).
  • $ E $ é a margem de erro.

Passo 4

Primeiro, vamos determinar o valor de $ z $ para um nível de confiança de 98%. Consultando uma tabela de distribuição normal, encontramos que $ z \approx 2,326 $.

Passo 5

Como queremos ser conservadores, assumimos $ p = 0,5 $. Isso porque $ p = 0,5 $ maximiza a variância $ p \cdot (1 - p) $, garantindo que nossa amostra seja suficiente independentemente da verdadeira proporção.

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula:
n = ( 2,326^2 cdot 0,5 cdot (1 - 0,5)0,02^2 )

Passo 7

Calculando passo a passo:
  1. $ 2,326^2 \approx 5,411 $
  2. $ 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 $
  3. $ 0,02^2 = 0,0004 $
Então,
2,326^2 approx 5,411
0,5 cdot 0,5 = 0,25
0,02^2 = 0,0004

Resposta

O tamanho da amostra necessário é aproximadamente 3382 entrevistados.

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