Sejam X 〜 Geometrica§ e Y 〜 Exponencial (lambda) para p in(0,1) e lambda>0.
a) Mostre que
MX(t)=p e^t1-(1-p) e^t
para t<-ln (1-p).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição geométrica com parâmetro $ p $, e outra variável $ Y $ que segue uma distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda $. A questão pede pra gente mostrar que a função geradora de momentos (ou MGF) de $ X $ é igual a:
X
E isso vale para $ t < -\ln(1 - p) $. Vamos precisar lembrar o que é a função geradora de momentos e como ela se calcula pra distribuição geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função geradora de momentos (MGF). A MGF de uma variável aleatória $ X $ é definida como:
X
Isso significa que a gente calcula a esperança matemática de $ e^{tX} $.

Passo 3

Agora, vamos focar na distribuição geométrica. A distribuição geométrica descreve o número de tentativas até o primeiro sucesso em uma sequência de ensaios de Bernoulli. A função de probabilidade de $ X $ ser igual a $ k $ é:
X
Isso quer dizer que a primeira $ k-1 $ tentativas são fracassos (com probabilidade $ 1 - p $) e a $ k $-ésima é um sucesso (com probabilidade $ p $).

Passo 4

Vamos calcular a MGF de $ X $. Pela definição:
X
Substituindo a função de probabilidade que a gente tem:
MX(t) = E[e^tX] = sumk=1^infty e^tk P(X = k)

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar o $ p $ porque é uma constante:
p
Agora, vamos mudar o índice da soma para facilitar. Vamos substituir $ k - 1 $ por $ n $, onde $ n = k - 1 $. Assim, quando $ k = 1 $, $ n = 0 $, e a soma fica:
MX(t) = p sumk=1^infty e^tk (1 - p)^k - 1
Isso simplifica para:
k - 1

Passo 6

A soma que aparece agora é uma série geométrica infinita. A fórmula da soma de uma série geométrica infinita $ \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} $ é igual a $ \frac{1}{1 - r} $, desde que $ |r| < 1 $.
No nosso caso, $ r = e^{t} (1 - p) $. Para a série convergir, precisamos que:
sumn=0^infty r^n
Como $ e^{t} > 0 $ e $ 1 - p < 1 $, a condição fica:
11 - r
Isso confirma a condição dada na questão.

Passo 7

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
sumn=0^infty ( e^t (1 - p) )^n = 11 - e^t (1 - p)
Substituindo de volta na expressão da MGF:
MX(t) = p e^t cdot 11 - e^t (1 - p) = p e^t1 - (1 - p) e^t

Resposta

A função geradora de momentos de $ X $ é:
X
para $ t < -\ln(1 - p) $.

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