Uma pesquisa indica que 25 % das pessoas preferem chocolate amargo. Se 15 pessoas sảo selecionadas aleatoriamente, qual a probabilidade de exatamente 3 preferitem chocolate amargo? (Valor 1,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que 25% das pessoas preferem chocolate amargo e queremos saber qual a probabilidade de, ao escolher 15 pessoas aleatoriamente, exatamente 3 delas preferirem esse tipo de chocolate. Vamos usar a probabilidade binomial para resolver isso, que é ideal para calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em uma série de tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Número total de tentativas (n): 15 pessoas
  • Probabilidade de sucesso em uma única tentativa §: 25% ou 0,25
  • Número de sucessos desejados (k): 3 pessoas

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • p^k é a probabilidade de sucesso elevada ao número de sucessos.
  • (1 - p)^n - k é a probabilidade de fracasso elevada ao número de fracassos.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente binomial:
binom153 = 15!3! cdot (15 - 3)! = 15 times 14 times 133 times 2 times 1 = 455
  1. Probabilidade de sucesso:
p^k = 0,25^3 = 0,015625
  1. Probabilidade de fracasso:
(1 - p)^n - k = 0,75^12 approx 0,031676

Passo 5

Agora, multiplicamos tudo junto para encontrar a probabilidade:
P(X = 3) = 455 times 0,015625 times 0,031676 approx 0,225

Resposta

A probabilidade de exatamente 3 das 15 pessoas preferirem chocolate amargo é aproximadamente 22,5%.

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