Uma pesquisa indica que 25 % das pessoas preferem chocolate amargo. Se 15 pessoas sảo selecionadas aleatoriamente, qual a probabilidade de mais de 2 preferitem amargo? (Valor 1,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que 25% das pessoas preferem chocolate amargo. A gente vai olhar para 15 pessoas escolhidas de forma aleatória e quer saber qual a chance de mais de 2 delas gostarem de amargo. A matéria envolvida aqui é Distribuição Binomial, que é usada para calcular probabilidades de um certo número de sucessos em uma quantidade fixa de tentativas, quando cada tentativa tem a mesma chance de sucesso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que aqui cada pessoa escolhida é uma “tentativa” e gostar de amargo é um “sucesso”. Temos:
  • Número de tentativas, $ n = 15 $
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa, $ p = 0,25 $
Queremos achar a probabilidade de mais de 2 pessoas gostarem de amargo, ou seja, $ P(X > 2) $.

Passo 3

Para calcular $ P(X > 2) $, é mais fácil calcular o complementar, que é $ P(X \leq 2) $, e depois subtrair de 1:
P(X > 2)
Então, precisamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $ e $ P(X = 2) $.

Passo 4

A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
onde $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $.

Passo 5

Vamos calcular cada uma das probabilidades:
  1. Para $ k = 0 $:
k = 0
  1. Para $ k = 1 $:
P(X = 0) = binom150 (0,25)^0 (0,75)^15 = 1 times 1 times 0,75^15 approx 0,013
  1. Para $ k = 2 $:
k = 1

Passo 6

Agora, somamos essas probabilidades para encontrar $ P(X \leq 2) $:
P(X <= 2)

Passo 7

Finalmente, calculamos $ P(X > 2) $:
P(X > 2)

Resposta

A probabilidade de mais de 2 pessoas preferirem chocolate amargo é aproximadamente 76,7%.

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