Uma pesquisa indica que
das pessoas preferem chocolate amargo. Se 15 pessoas sảo selecionadas aleatoriamente, qual a probabilidade de mais de 2 preferitem amargo? (Valor 1,5)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que 25% das pessoas preferem chocolate amargo. A gente vai olhar para 15 pessoas escolhidas de forma aleatória e quer saber qual a chance de mais de 2 delas gostarem de amargo. A matéria envolvida aqui é Distribuição Binomial, que é usada para calcular probabilidades de um certo número de sucessos em uma quantidade fixa de tentativas, quando cada tentativa tem a mesma chance de sucesso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que aqui cada pessoa escolhida é uma “tentativa” e gostar de amargo é um “sucesso”. Temos:
- Número de tentativas, $ n = 15 $
- Probabilidade de sucesso em cada tentativa, $ p = 0,25 $
Queremos achar a probabilidade de mais de 2 pessoas gostarem de amargo, ou seja, $ P(X > 2) $.
Passo 3
Para calcular $ P(X > 2) $, é mais fácil calcular o complementar, que é $ P(X \leq 2) $, e depois subtrair de 1:
Então, precisamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $ e $ P(X = 2) $.
Passo 4
A fórmula da Distribuição Binomial é:
onde $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $.
Passo 5
Vamos calcular cada uma das probabilidades:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
Passo 6
Agora, somamos essas probabilidades para encontrar $ P(X \leq 2) $:
Passo 7
Finalmente, calculamos $ P(X > 2) $:
Resposta
A probabilidade de mais de 2 pessoas preferirem chocolate amargo é aproximadamente 76,7%.