A tabela de distribuição conjunta exibida abaixo apresenta os dados fornecidos por uma empresa da indústria imobiliária. X e Y denotam, respectivamente, o número de quartos e o número de banheiros das casas disponíveis no mercado. Os valores na tabela representam a proporção de casas com cada uma das possíveis configurações. Supondo que uma dessas residências seja selecionada aleatoriamente, determine P(X >= 3 mid Y >= 5).
Y backslash X 2 3 4
2 0.163 0.047 0.208
3 0.004 0.035 0.194
4 0.045 0.073 0.128
5 0.012 0.07 0.021
(a) 0.883
(b) 0.680
© 0.070
(d) 0.225
(e) 0.091

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma tabela que mostra a distribuição conjunta de duas variáveis: X, que representa o número de quartos, e Y, que representa o número de banheiros das casas disponíveis. Cada célula da tabela mostra a proporção de casas com aquela combinação específica de quartos e banheiros. O que queremos descobrir é a probabilidade de uma casa ter pelo menos 3 quartos ( X >= 3), dado que ela já tem pelo menos 5 banheiros ( Y >= 5). Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e somar as proporções apropriadas da tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a probabilidade condicional. A probabilidade de A dado B, escrita como P(A mid B), é a probabilidade de o evento A acontecer sabendo que o evento B já ocorreu. A fórmula para isso é:
P(A mid B) = P(A cap B)P(B)
No nosso caso, A é “ter pelo menos 3 quartos” e B é “ter pelo menos 5 banheiros”.

Passo 3

Vamos identificar P(B), que é a probabilidade de uma casa ter pelo menos 5 banheiros. Olhando para a tabela, vemos que a única linha com Y = 5 é:
  • Y = 5 e X = 2: 0.012
  • Y = 5 e X = 3: 0.07
  • Y = 5 e X = 4: 0.021
Somando essas proporções:
P(Y >= 5) = 0.012 + 0.07 + 0.021 = 0.103

Passo 4

Agora, vamos identificar P(A cap B), que é a probabilidade de uma casa ter pelo menos 3 quartos e pelo menos 5 banheiros. Olhando novamente para a linha onde Y = 5:
  • Y = 5 e X = 3: 0.07
  • Y = 5 e X = 4: 0.021
Somando essas proporções:
P(X >= 3 cap Y >= 5) = 0.07 + 0.021 = 0.091

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(X >= 3 mid Y >= 5) = P(X >= 3 cap Y >= 5)P(Y >= 5) = 0.0910.103 approx 0.883

Resposta

A probabilidade P(X >= 3 mid Y >= 5) é aproximadamente 0.883.

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