Uma pesquisa perguntou a 1012 adultos selecionados aleatoriamente se a clonagem humana deve ou não ser permitida. Os resultados mostraram que 901 dos entrevistados indicavam que a clonagem não deveria ser permitida. Construa um intervalo de confiança de
de confiança para a proporção de adultos que acreditam que a clonagem de humanos não deva ser permitida.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado: Temos uma pesquisa com 1012 adultos aleatoriamente selecionados, onde 901 responderam que a clonagem humana não deveria ser permitida. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança de 90% para a proporção de adultos que acreditam nisso.
Matéria envolvida: Estatística, especificamente estimação de intervalos de confiança para proporções.
O que vamos precisar:
- A fórmula para o intervalo de confiança para uma proporção.
- Conhecimento sobre o cálculo do erro padrão e o valor crítico Z correspondente ao nível de confiança de 90%.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a proporção amostral (
). Isso representa a fração de pessoas na amostra que respondem que a clonagem não deve ser permitida.
Vamos calcular esse valor:
Então, a proporção amostral é aproximadamente 0,891, ou 89,1%.
Passo 3
Agora, precisamos determinar o valor crítico
correspondente a um nível de confiança de 90%. O valor crítico
é o número de desvios padrão que cobre a parte central do nosso intervalo de confiança.
Para um intervalo de confiança de 90%, a área nas duas extremidades é de 5% em cada lado. Consultando uma tabela Z ou usando uma calculadora, encontramos que:
Passo 4
Em seguida, calculamos o erro padrão (
) da proporção amostral. O erro padrão nos dá uma ideia de quanto a proporção amostral pode variar em relação à verdadeira proporção da população.
A fórmula para o erro padrão é:
Substituindo os valores que temos:
Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, calcule $ \hat{p} \times (1 - \hat{p}) $:
Agora, divida esse resultado pelo tamanho da amostra (
):
Agora, calcule a raiz quadrada desse valor:
Finalmente, multiplique pelo valor crítico
:
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,0161, ou 1,61%.
Passo 5
Com o erro padrão calculado, podemos agora construir o intervalo de confiança. O intervalo de confiança é dado por:
Substituindo os valores:
Isso nos dá os limites inferior e superior do intervalo:
Resposta
Portanto, o intervalo de confiança de 90% para a proporção de adultos que acreditam que a clonagem humana não deve ser permitida está entre aproximadamente 87,49% e 90,71%.