Uma pesquisa perguntou a 1012 adultos selecionados aleatoriamente se a clonagem humana deve ou não ser permitida. Os resultados mostraram que 901 dos entrevistados indicavam que a clonagem não deveria ser permitida. Construa um intervalo de confiança de 90 % de confiança para a proporção de adultos que acreditam que a clonagem de humanos não deva ser permitida.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: Temos uma pesquisa com 1012 adultos aleatoriamente selecionados, onde 901 responderam que a clonagem humana não deveria ser permitida. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança de 90% para a proporção de adultos que acreditam nisso.
Matéria envolvida: Estatística, especificamente estimação de intervalos de confiança para proporções.
O que vamos precisar:
  • A fórmula para o intervalo de confiança para uma proporção.
  • Conhecimento sobre o cálculo do erro padrão e o valor crítico Z correspondente ao nível de confiança de 90%.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção amostral ( p). Isso representa a fração de pessoas na amostra que respondem que a clonagem não deve ser permitida.
p = número de sucessostamanho da amostra = 9011012 ú
Vamos calcular esse valor:
p = 9011012 approx 0,891
Então, a proporção amostral é aproximadamente 0,891, ou 89,1%.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o valor crítico Z correspondente a um nível de confiança de 90%. O valor crítico Z é o número de desvios padrão que cobre a parte central do nosso intervalo de confiança.
Para um intervalo de confiança de 90%, a área nas duas extremidades é de 5% em cada lado. Consultando uma tabela Z ou usando uma calculadora, encontramos que:
Z approx 1,645

Passo 4

Em seguida, calculamos o erro padrão ( E) da proporção amostral. O erro padrão nos dá uma ideia de quanto a proporção amostral pode variar em relação à verdadeira proporção da população.
A fórmula para o erro padrão é:
E = Z times raizp(1 - p)n
Substituindo os valores que temos:
E = 1,645 times raiz0,891 times (1 - 0,891)1012
Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, calcule $ \hat{p} \times (1 - \hat{p}) $:
p times (1 - p)
Agora, divida esse resultado pelo tamanho da amostra ( 0,891 times (1 - 0,891) = 0,891 times 0,109 approx 0,097 ):
n = 1012
Agora, calcule a raiz quadrada desse valor:
0,0971012 approx 0,000096
Finalmente, multiplique pelo valor crítico raiz0,000096 approx 0,0098 :
Z
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,0161, ou 1,61%.

Passo 5

Com o erro padrão calculado, podemos agora construir o intervalo de confiança. O intervalo de confiança é dado por:
p pm E
Substituindo os valores:
0,891 pm 0,0161
Isso nos dá os limites inferior e superior do intervalo:
0,891 - 0,0161 = 0,8749
0,891 + 0,0161 = 0,9071

Resposta

Portanto, o intervalo de confiança de 90% para a proporção de adultos que acreditam que a clonagem humana não deve ser permitida está entre aproximadamente 87,49% e 90,71%.

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