Suponha que o número de clientes que chegam a uma rede de supermercado atacadista siga uma distribuição de Poisson com uma média de chegada 18 clientes por hora. Qual a probabilidade de que cheguem menos de 2 clientes em 10 minutos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde o número de clientes que chegam a um supermercado atacadista segue uma distribuição de Poisson. A média de chegada é de 18 clientes por hora. A pergunta é: qual a probabilidade de chegarem menos de 2 clientes em 10 minutos? Então, vamos precisar entender como usar a distribuição de Poisson e ajustar a média para o período de 10 minutos.

Passo 2

Primeiro, precisamos ajustar a média de chegada para o período de 10 minutos. Como a média é de 18 clientes por hora, vamos calcular a média para 10 minutos. Como 10 minutos é 1/6 de uma hora, a média muda proporcionalmente:
lambda10min = 18 times 1060 = 3
Então, para 10 minutos, a média ( lambda) é 3 clientes.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da distribuição de Poisson. Ela nos dá a probabilidade de acontecer exatamente k eventos em um intervalo de tempo, quando sabemos a média ( lambda) de eventos nesse intervalo. A fórmula é:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • e é a constante de Euler (~2,71828)
  • lambda é a média de eventos
  • k! é o fatorial de k

Passo 4

Como queremos a probabilidade de chegarem menos de 2 clientes, precisamos calcular para k = 0 e k = 1, e depois somar essas probabilidades.
Primeiro, para k = 0:
P(X = 0) = e^-3 times 3^00! = e^-3 times 1 / 1 = e^-3 approx 0,0498

Passo 5

Agora, para k = 1:
P(X = 1) = e^-3 times 3^11! = e^-3 times 3 / 1 = 3e^-3 approx 0,1494

Passo 6

Por fim, somamos as probabilidades de k = 0 e k = 1 para encontrar a probabilidade de chegarem menos de 2 clientes:
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) approx 0,0498 + 0,1494 = 0,1992

Resposta

A probabilidade de que cheguem menos de 2 clientes em 10 minutos é aproximadamente 19,92%.

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