A v.a. contínua
tem f.d.p.
Se
for um número que satisfaz
, calcule
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) definida por:
Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade condicional $ P(X > b \mid X < \frac{b}{2}) $, onde $ b $ é um número que satisfaz $ -1 < b < 0 $. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de probabilidade condicional e como trabalhar com funções densidade de probabilidade contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é probabilidade condicional. A probabilidade condicional $ P(A \mid B) $ é a probabilidade de o evento $ A $ ocorrer dado que o evento $ B $ já ocorreu. Matematicamente, é dada por:
No nosso caso, queremos $ P(X > b \mid X < \frac{b}{2}) $. Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos analisar a interseção $ P(X > b \ e \ X < \frac{b}{2}) $. Observando que $ -1 < b < 0 $, temos $ \frac{b}{2} > b $ porque dividir um número negativo por 2 torna ele menos negativo. Portanto, a condição $ X > b $ e $ X < \frac{b}{2} $ significa que $ X $ está entre $ b $ e $ \frac{b}{2} $.
Então, podemos reescrever a interseção como:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ P(X < \frac{b}{2}) $. Isso é simplesmente a probabilidade de $ X $ ser menor que $ \frac{b}{2} $, que pode ser calculada pela função de distribuição acumulada (f.d.a):
Passo 5
Vamos agora calcular ambas as integrais usando a f.d.p. fornecida $ f(x) = 3x^{2} $ para $ -1 \leq x \leq 0 $.
Primeiro, a interseção:
Simplificando:
Como $ b $ é negativo, essa expressão será positiva, o que faz sentido para uma probabilidade.
Passo 6
Agora, vamos calcular $ P(X < \frac{b}{2}) $:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos os resultados encontrados na fórmula da probabilidade condicional:
Novamente, como $ b $ é negativo, o numerador será positivo.
Resposta
Portanto, a probabilidade condicional $ P(X > b \mid X < \frac{b}{2}) $ é: