A v.a. contínua X tem f.d.p. f(x)=l3 x^2,-1 <= x <= 0 0, caso contrário á
Se b for um número que satisfaz -1, calcule P(X>b mid X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) definida por:
X á
Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade condicional $ P(X > b \mid X < \frac{b}{2}) $, onde $ b $ é um número que satisfaz $ -1 < b < 0 $. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de probabilidade condicional e como trabalhar com funções densidade de probabilidade contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é probabilidade condicional. A probabilidade condicional $ P(A \mid B) $ é a probabilidade de o evento $ A $ ocorrer dado que o evento $ B $ já ocorreu. Matematicamente, é dada por:
P(A mid B)
No nosso caso, queremos $ P(X > b \mid X < \frac{b}{2}) $. Isso significa que:
A

Passo 3

Agora, vamos analisar a interseção $ P(X > b \ e \ X < \frac{b}{2}) $. Observando que $ -1 < b < 0 $, temos $ \frac{b}{2} > b $ porque dividir um número negativo por 2 torna ele menos negativo. Portanto, a condição $ X > b $ e $ X < \frac{b}{2} $ significa que $ X $ está entre $ b $ e $ \frac{b}{2} $.
Então, podemos reescrever a interseção como:
P(X > b e X < b2)

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(X < \frac{b}{2}) $. Isso é simplesmente a probabilidade de $ X $ ser menor que $ \frac{b}{2} $, que pode ser calculada pela função de distribuição acumulada (f.d.a):
P(X < b2)

Passo 5

Vamos agora calcular ambas as integrais usando a f.d.p. fornecida $ f(x) = 3x^{2} $ para $ -1 \leq x \leq 0 $.
Primeiro, a interseção:
f(x) = 3x^2
Simplificando:
-1 <= x <= 0
Como $ b $ é negativo, essa expressão será positiva, o que faz sentido para uma probabilidade.

Passo 6

Agora, vamos calcular $ P(X < \frac{b}{2}) $:
P(X < b2)
Simplificando:
integral-1^b2 3x^2 , dx = 3 [ x^33 ]-1^b2 = [ x^3 ]-1^b2 = ( ( b2 )^3 - (-1)^3 )

Passo 7

Agora, substituímos os resultados encontrados na fórmula da probabilidade condicional:
P(X > b mid X < b2) = -7b^38b^38 + 1 = -7b^3b^3 + 8
Novamente, como $ b $ é negativo, o numerador será positivo.

Resposta

Portanto, a probabilidade condicional $ P(X > b \mid X < \frac{b}{2}) $ é:
P(X > b mid X < b2)

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