Uma pesquisa recente do IBGE mostrou que, em 2016, o 1 % dos trabalhadores brasileiros de maiores salários recebiam, em média, R por mês. Chamando este grupo de trabalhadores como “grupo do topo” e dividindo todos trabalhadores entre os que estão ou não nesse grupo, determine:
(a) Considerando os dados apresentados como populacionais, determine o número mínimo, por mês Chamando este grupo de trabalhadores como "grupo do topo" e dividindo todos trabalhadores entre os que estão ou não nesse grupo, determine: (a) Considerando os dados apresentados como populacionais, determine o número mínimo, , de uma amostra de trabalhadores para que a proporção amostral , de uma amostra de trabalhadores para que a proporção amostral topo topo seja normalmente distribuída (1 pt).
(b) Para uma amostra de tamanho determinado no ítem (a), qual a probabilidade de não haver nenhum trabalhador no topo (1 pt).

Passo 1

O enunciado diz que apenas 1% dos trabalhadores pertence ao “grupo do topo” (p = 0,01) e pede (a) o tamanho mínimo de amostra n para que a proporção amostral hat p seja aproximadamente normal e (b) a probabilidade de não ocorrer nenhum trabalhador do topo nessa amostra.

Passo 2

Para usar a aproximação normal pela teoria da proporção amostral (Teorema Central do Limite), precisamos de uma regra prática: n p >= 5 e n(1-p) >= 5. Aqui p=0,01. No segundo caso n(1-0,01)=0,99n, logo só o primeiro critério domina:

Passo 3

Resolvendo n p >= 5 temos:
n cdot 0,01 >= 5 implies n >= 50,01 = 500
Portanto, a menor amostra que atende é n=500.

Passo 4

Com n=500, supondo independência, o número de trabalhadores do topo segue Binomial(n=500,p=0,01). A probabilidade de não haver nenhum (zero sucessos) é dada por:
P(X=0) = (1-p)^n = (0,99)^500

Passo 5

Calculando numericamente:
(0,99)^500 = e^500ln(0,99) approx e^-5,025 approx 0,0066
Isso dá cerca de 0,66%.

Resposta

a) n=500. b) P(0)=(0,99)^500approx 0,0066 (≈0,66%).

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