Questão 4.

Baseado numa amostra de 25 alunos com média final 4.2 , um professor acredita que a média final de suas turmas diminuiu em relação à média histórica de 5.3. Historicamente o desvio padrão associado à média final é de 2.2 .
(a) Assumindo que a distribuição de notas é normal, teste a hipótese do professor com nível de significância de 8 % e determine o valor p associado à amostra. (1 pt)
(b) Dê um argumento quantitativo (contra ou a favor) sobre a suposição de que a distribuição histórica de notas é normal (dica: avalie as notas mínimas ou máximas possíveis) ( 1,5 pt ).

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=25 com média amostral bar x=4.2, a média histórica mu0=5.3 e o desvio padrão populacional conhecido sigma=2.2. Vamos testar, ao nível de significância alpha=0.08, se a média atual diminuiu em relação a mu0.

Passo 2

As hipóteses são
H0:;mu=5.3
H1:;mu<5.3
Como sigma é conhecido e assumimos normalidade, usamos a estatística de teste
Z=bar x-mu0sigma/raizn

Passo 3

Calculando
Z=4.2-5.32.2/raiz25=-1.10.44=-2.50
O valor crítico para um teste à esquerda com alpha=0.08 é
z0.08=Phi^-1(0.08)approx-1.405
Como Z=-2.50< -1.405, rejeitamos H0.

Passo 4

O p-valor é
p= P(Z< -2.50)=Phi(-2.50)approx0.0062,
que é muito menor que 0.08, confirmando a rejeição de H0.

Passo 5

Para avaliar a normalidade histórica das notas (que variam naturalmente entre 0 e 10), calculamos as probabilidades de sair fora desse intervalo sob N(5.3,2.2^2):
P(X<0)=Phil((0-5.3)/2.2r)approx0.008,
P(X>10)=1-Phil((10-5.3)/2.2r)approx0.016
Logo, cerca de 2.4% das notas seriam “impossíveis” (<0 ou >10), o que sugere que a suposição de normalidade é uma boa aproximação, mas não perfeita devido aos limites rígidos.

Resposta

(a) Estatística de teste Z=-2.50, valor crítico -1.405, p-valor approx0.0062. Como Z e p<0.08, rejeita-se H0. (b) Sob N(5.3,2.2^2) temos P(X<0)approx0.008 e P(X>10)approx0.016, totalizando 2.4% fora do intervalo [0,10], o que indica que a normalidade é razoável como aproximação, mas não exata.

Exercícios relacionados