Questão 4.
Baseado numa amostra de 25 alunos com média final 4.2 , um professor acredita que a média final de suas turmas diminuiu em relação à média histórica de 5.3. Historicamente o desvio padrão associado à média final é de 2.2 .
(a) Assumindo que a distribuição de notas é normal, teste a hipótese do professor com nível de significância de
e determine o valor
associado à amostra. (1 pt)
(b) Dê um argumento quantitativo (contra ou a favor) sobre a suposição de que a distribuição histórica de notas é normal (dica: avalie as notas mínimas ou máximas possíveis) (
).
(a) Assumindo que a distribuição de notas é normal, teste a hipótese do professor com nível de significância de
(b) Dê um argumento quantitativo (contra ou a favor) sobre a suposição de que a distribuição histórica de notas é normal (dica: avalie as notas mínimas ou máximas possíveis) (
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de tamanho
com média amostral
, a média histórica
e o desvio padrão populacional conhecido
. Vamos testar, ao nível de significância
, se a média atual diminuiu em relação a
.
Passo 2
As hipóteses são
Como
é conhecido e assumimos normalidade, usamos a estatística de teste
Passo 3
Calculando
O valor crítico para um teste à esquerda com
é
Como
, rejeitamos
.
Passo 4
O p-valor é
que é muito menor que
, confirmando a rejeição de
.
Passo 5
Para avaliar a normalidade histórica das notas (que variam naturalmente entre 0 e 10), calculamos as probabilidades de sair fora desse intervalo sob
:
Logo, cerca de 2.4% das notas seriam “impossíveis” (<0 ou >10), o que sugere que a suposição de normalidade é uma boa aproximação, mas não perfeita devido aos limites rígidos.
Resposta
(a) Estatística de teste
, valor crítico
, p-valor
. Como
e
, rejeita-se
. (b) Sob
temos
e
, totalizando
fora do intervalo [0,10], o que indica que a normalidade é razoável como aproximação, mas não exata.