Em uma pesquisa sobre consumo de refrigerantes, foram consideradas três marcas do mercado: Gelato, Delícia e Suave. Após a aplicação da pesquisa foi constatado que em um intervalo de tempo as pessoas mudam a marca do refrigerante consumido e foram
determinadas as seguintes probabilidades de mudança de uma marca para outra (taxas de passagem) organizadas na matriz T=[ai j], onde
ai j= probabilidade de escolha do refrigerante i, após consumo do refrigerante j. Considere que os refrigerantes mencionados foram numerados na ordem dada.
Considerando a matriz dada em (a) e que as taxas de passagem não mudam numa segunda pesquisa, determine a matriz T2 que indica a probabilidade de se mudar de marca após duas pesquisas e mostre que é T2=T^2.

Passo 1

O enunciado apresenta uma cadeia de Markov com três estados (Gelato, Delícia e Suave) e uma matriz de transição
T = l[aijr]3times3,
onde aij é a probabilidade de escolher o refrigerante i logo após ter consumido o refrigerante j. Queremos obter a matriz de duas etapas T2, ou seja, as probabilidades de transição em dois saltos, e mostrar que de fato
T2=T^2
Note que o enunciado não forneceu os valores numéricos de aij, então faremos tudo de modo genérico.

Passo 2

Definimos (T2)ij como a probabilidade de ir do estado j ao estado i em exatamente dois passos. Pela regra da probabilidade composta, para “passar” por um estado intermediário k temos
(T2)ij =sumk=1^3l[Pr(jto k)timesPr(kto i)r] =sumk=1^3aik,akj

Passo 3

A definição de multiplicação de matrizes diz que o (i,j)-ésimo elemento de T^2=Tcdot T é
(T^2)ij =sumk=1^3Tik,Tkj =sumk=1^3aik,akj
Comparando com o que obtivemos para (T2)ij, fica claro que
(T2)ij=(T^2)ij forall,i,j

Resposta

T2=T^2,
cujo elemento genérico é
(T2)ij =sumk=1^3aik,akj

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