Em uma pesquisa sobre consumo de refrigerantes, foram consideradas três marcas do mercado: Gelato, Delícia e Suave. Após a aplicação da pesquisa foi constatado que em um intervalo de tempo as pessoas mudam a marca do refrigerante consumido e foram
determinadas as seguintes probabilidades de mudança de uma marca para outra (taxas de passagem) organizadas na matriz
, onde
probabilidade de escolha do refrigerante
, após consumo do refrigerante
. Considere que os refrigerantes mencionados foram numerados na ordem dada.
Considerando a matriz dada em (a) e que as taxas de passagem não mudam numa segunda pesquisa, determine a matriz
que indica a probabilidade de se mudar de marca após duas pesquisas e mostre que é
.
determinadas as seguintes probabilidades de mudança de uma marca para outra (taxas de passagem) organizadas na matriz
Considerando a matriz dada em (a) e que as taxas de passagem não mudam numa segunda pesquisa, determine a matriz
Passo 1
O enunciado apresenta uma cadeia de Markov com três estados (Gelato, Delícia e Suave) e uma matriz de transição
onde
é a probabilidade de escolher o refrigerante
logo após ter consumido o refrigerante
. Queremos obter a matriz de duas etapas
, ou seja, as probabilidades de transição em dois saltos, e mostrar que de fato
Note que o enunciado não forneceu os valores numéricos de
, então faremos tudo de modo genérico.
Passo 2
Definimos
como a probabilidade de ir do estado
ao estado
em exatamente dois passos. Pela regra da probabilidade composta, para “passar” por um estado intermediário
temos
Passo 3
A definição de multiplicação de matrizes diz que o
-ésimo elemento de
é
Comparando com o que obtivemos para
, fica claro que
Resposta
cujo elemento genérico é