Em uma pesquisa sobre consumo de refrigerantes, foram consideradas três marcas do mercado: Gelato, Delícia e Suave. Após a aplicação da pesquisa foi constatado que em um intervalo de tempo as pessoas mudam a marca do refrigerante consumido e foram
determinadas as seguintes probabilidades de mudança de uma marca para outra (taxas de passagem) organizadas na matriz T=[ai j], onde
ai j= probabilidade de escolha do refrigerante i, após consumo do refrigerante j. Considere que os refrigerantes mencionados foram numerados na ordem dada.
Considerando que as pesquisas mostram que, as pessoas sempre mudam de refrigerante para alguma das outras duas marcas com a mesma probabilidade, construa a matriz T. Verifique que a matriz T2 que indica a probabilidade de se mudar de marca após duas pesquisas é T2=T^2, como em (b).

Passo 1

O enunciado descreve uma cadeia de Markov com três estados ( 1=Gelato, 2=Delícia, 3=Suave) e pede a matriz de transição T, sabendo que a cada etapa o consumidor sempre muda para uma das outras duas marcas com probabilidade igual.

Passo 2

Como a probabilidade de ficar na mesma marca é zero e, ao mudar, escolhe cada uma das outras duas com probabilidade 12, temos
T = l[aijr]i,j=1^3 = 0 & tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & 0 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 & 0

Passo 3

Para verificar que a matriz de duas passagens T2 é T^2, calculamos\r
(T^2)ij ;=;sumk=1^3 Tik,Tkj \r
  • Se i=j, só há dois termos não nulos ( kneq i), cada um valendo tfrac12cdottfrac12, logo\r
(T^2)ii ;=;2cdot12cdot12 ;=;12 \r
  • Se ineq j, só há um termo não nulo (quando kneq i,j), valendo tfrac12cdottfrac12, logo\r
(T^2)ij ;=;14(ineq j)

Passo 4

Assim obtém-se
T^2 = 12 & 14 & 14 14 & 12 & 14 14 & 14 & 12 ,
que de fato é a matriz T2 de duas passagens.

Resposta

T = 0 & 12 & 12 12 & 0 & 12 12 & 12 & 0 , T2 = T^2 = 12 & 14 & 14 14 & 12 & 14 14 & 14 & 12

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