Em uma pesquisa sobre hábitos de estudo, foram entrevistados * 10 pontos 100 estudantes e constatou-se que:
60 estudantes estudam Matemática ( M ).
45 estudantes estudam Física ( F ).
40 estudantes estudam Química ( Q ).
25 estudam Matemática e Física.
20 estudam Matemática e Química.
15 estudam Física e Química.
10 estudam as três disciplinas.
Com base nesses dados, determine:
a) Quantos estudantes estudam pelo menos uma dessas três disciplinas?
b) Quantos estudantes não estudam nenhuma dessas disciplinas?
c) Quantos estudam apenas Matemática?
d) Quantos estudam exatamente duas dessas disciplinas?

Passo 1

O enunciado fornece um total de 100 estudantes e as seguintes informações de cardinalidades:
|M|=60, |F|=45, |Q|=40,
|Mcap F|=25, |Mcap Q|=20, |Fcap Q|=15, |Mcap Fcap Q|=10
O conteúdo principal aqui é o Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos. Vamos usá-lo para responder cada item.

Passo 2

Para calcular o número de estudantes que estudam pelo menos uma das três disciplinas, ou seja,
|Mcup Fcup Q|, aplicamos
|Mcup Fcup Q| =|M|+|F|+|Q| -l(|Mcap F|+|Mcap Q|+|Fcap Q|r) +|Mcap Fcap Q|
Substituindo os valores:
|Mcup Fcup Q| =60+45+40-(25+20+15)+10 =145-60+10 =95

Passo 3

O número de estudantes que não estudam nenhuma das três disciplinas é
100 - |Mcup Fcup Q| = 100 - 95 = 5

Passo 4

Para achar quantos estudam apenas Matemática, computamos
|M|-|Mcap(Fcup Q)| =|M|-l(|Mcap F|+|Mcap Q|-|Mcap Fcap Q|r)
Logo,
apenas M =60-(25+20-10) =60-35 =25

Passo 5

O total dos que estudam exatamente duas disciplinas é a soma de cada interseção dupla sem contar quem estuda as três:
(|Mcap F|-|Mcap Fcap Q|)+(|Mcap Q|-|Mcap Fcap Q|)+(|Fcap Q|-|Mcap Fcap Q|)
Substituindo:
(25-10)+(20-10)+(15-10) =15+10+5 =30

Resposta

a) 95 estudantes
b) 5 estudantes
c) 25 estudantes
d) 30 estudantes

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