Um técnico precisa determinar o tempo médio gasto para perfurar três orificios numa peça de metal. Qual o tamanho da amostra que deve ser usado para que tenhamos 95 \% de confiança que sua média amostral esteja a menos de 15 segundos da verdadeira média, sabendo-se por valores históricos que o desvio padrão da população é 40 segundos?

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, claramente (peguei tudo do enunciado):
  • Queremos tamanho da amostra para estimar a média do tempo de perfurar três orifícios, com nível de confiança de \,95\%.
  • O erro máximo tolerável (metade da largura do intervalo de confiança) é \,15 segundos.
  • Sabe‑se que o desvio padrão da população é \sigma = 40 segundos (valor histórico).
  • O que se pede: o valor de n (número de observações) tal que a média amostral esteja a menos de \,15 segundos da verdadeira média com \,95\% de confiança.

Passo 2

Conceito e fórmula que usamos (a ideia por trás): quando a variância populacional é conhecida, o intervalo de confiança para a média tem a forma
\bar{X}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{X} é a média amostral (não precisamos do valor aqui, só da forma do intervalo);
  • \sigma é o desvio padrão populacional ( =40 s);
  • n é o tamanho da amostra que queremos achar;
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança desejado;
  • o termo z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro máximo (margem de erro) do intervalo.
Explicando o que é cada coisa, de forma bem direta: \sigma/\sqrt{n} é o desvio padrão da média amostral (quanto a média amostral costuma variar de amostra pra amostra); multiplicando por z_{\alpha/2} obtemos o tamanho do “raio” do intervalo de confiança para o nível pedido.

Passo 3

Relacionamos a margem de erro exigida E com as outras quantidades:
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Queremos resolver essa equação para n. Isolando \sqrt{n} e elevando ao quadrado:
\sqrt{n}=\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E} \quad\Rightarrow\quad n=\left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}.

Passo 4

Agora numericamente:
  • O nível de confiança é \,95\%, então \alpha = 1-0,95 = 0,05 e \alpha/2=0,025. O quantil correspondente da normal padrão é bem conhecido: z_{0,025}=1,96.
  • Substituindo \,z_{0,025}=1,96, \sigma=40 e E=15 na fórmula:
n=\left(\frac{1,96\cdot 40}{15}\right)^{2}.
Calcule passo a passo:
1,96\cdot 40 = 78,4, \qquad \frac{78,4}{15}=\frac{392}{75}\approx 5,226\overline{6},
n=\left(5,226\overline{6}\right)^{2}\approx 27,319\ldots

Passo 5

Interpretação final e arredondamento: o cálculo deu n\approx 27,319. Como o tamanho da amostra precisa ser um número inteiro e deve ser suficiente para garantir o erro máximo especificado, deve‑se arredondar para cima (usar o teto). Logo é necessário usar
n=28.
Força final: com 28 observações a média amostral estará, com \,95\% de confiança, a menos de \,15 segundos da média verdadeira.

Resposta

n=28

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