Um técnico precisa determinar o tempo médio gasto para perfurar três orificios numa peça de metal. Qual o tamanho da amostra que deve ser usado para que tenhamos
de confiança que sua média amostral esteja a menos de 15 segundos da verdadeira média, sabendo-se por valores históricos que o desvio padrão da população é 40 segundos?
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, claramente (peguei tudo do enunciado):
- Queremos tamanho da amostra para estimar a média do tempo de perfurar três orifícios, com nível de confiança de
. - O erro máximo tolerável (metade da largura do intervalo de confiança) é
segundos. - Sabe‑se que o desvio padrão da população é
segundos (valor histórico). - O que se pede: o valor de
(número de observações) tal que a média amostral esteja a menos de segundos da verdadeira média com de confiança.
Passo 2
Conceito e fórmula que usamos (a ideia por trás): quando a variância populacional é conhecida, o intervalo de confiança para a média tem a forma
onde:
-
é a média amostral (não precisamos do valor aqui, só da forma do intervalo); -
é o desvio padrão populacional ( s); -
é o tamanho da amostra que queremos achar; -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança desejado; - o termo
é o erro máximo (margem de erro) do intervalo.
Explicando o que é cada coisa, de forma bem direta:
é o desvio padrão da média amostral (quanto a média amostral costuma variar de amostra pra amostra); multiplicando por
obtemos o tamanho do “raio” do intervalo de confiança para o nível pedido.
Passo 3
Relacionamos a margem de erro exigida
com as outras quantidades:
Queremos resolver essa equação para
. Isolando
e elevando ao quadrado:
Passo 4
Agora numericamente:
- O nível de confiança é
, então e . O quantil correspondente da normal padrão é bem conhecido: . - Substituindo
, e na fórmula:
Calcule passo a passo:
Passo 5
Interpretação final e arredondamento: o cálculo deu
. Como o tamanho da amostra precisa ser um número inteiro e deve ser suficiente para garantir o erro máximo especificado, deve‑se arredondar para cima (usar o teto). Logo é necessário usar
Força final: com
observações a média amostral estará, com
de confiança, a menos de
segundos da média verdadeira.